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${\begin{aligned}y&+\lambda ''z+i\left(\mu ''y^{2}+\mu ''_{1}yz+\mu ''_{2}z^{2}+\mu ''_{3}\int zdy\right)\\&+i^{2}\left(\nu ''y^{3}+\nu ''_{1}y^{2}z+\nu ''_{2}yz^{2}+\nu ''_{3}z^{3}+\nu ''_{4}\int yzdy\right.\end{aligned}}$

$\left.+\nu ''_{5}\int z^{2}dy+\nu ''_{6}y\int dzy+\nu ''_{7}z\int zdy\right)=\theta '',$

d’où l’on tirera par approximation les valeurs de $y$ et de $z.$

Il est évident que pour que les valeurs de $y$ et de $z$ ne contiennent que des sinus et des cosinus, il faut que les racines de l’équation (R) soient toutes deux réelles et négatives ; par conséquent il faut que l’on ait

1^o $(\mathrm {G} +h+i\alpha )^{2}>4\left[\mathrm {G} h-\mathrm {H} g+i(\alpha h-\beta g)\right],$

2^o $\mathrm {G} +h+i\alpha >0,\qquad \mathrm {G} h\mathrm {H} g+i(\alpha h-\beta g)>0.$

Si ces trois conditions n’ont point lieu à la fois, alors les valeurs de $y$ et de $z$ contiendront des exponentielles réelles, et par conséquent la solution ne sera bonne que tant que $t$ ne sera pas fort grande.

On pourrait ajouter que les expressions de $y$ et de $z$ renfermeraient l’angle $t,$ si les deux valeurs de $\rho ^{2}$ étaient égales ; car alors, supposant $\rho ''=\rho '+\omega ,$ et regardant $\omega$ comme une quantité évanouissante, on trouverait que la seconde des deux équations ci-dessus se réduirait à celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\lambda '}{d\rho '}}z&+i\left({\frac {d\mu '}{d\rho '}}y^{2}+{\frac {d\mu _{1}'}{d\rho '}}yz+{\frac {d\mu _{2}'}{d\rho '}}z^{2}+{\frac {d\mu _{3}'}{d\rho '}}\int zdy\right)\\&+i^{2}\left({\frac {d\nu '}{d\rho '}}y^{3}+{\frac {d\nu _{1}'}{d\rho '}}y^{2}z+{\frac {d\nu _{2}'}{d\rho '}}yz^{2}+{\frac {d\nu _{3}'}{d\rho '}}z^{3}+{\frac {d\nu _{4}'}{d\rho '}}\int yzdy\right.\\\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {d\nu _{5}'}{d\rho '}}\int z^{2}dy+{\frac {d\nu _{6}'}{d\rho '}}y\int zdy+{\frac {d\nu _{7}'}{d\rho '}}z\int dy\right)={\frac {d\theta '}{d\rho '}},$

dans laquelle la quantité ${\frac {d\theta '}{d\rho '}}$ contient nécessairement des termes multipliés par l’angle $t.$ Mais comme l’équation (R) n’est qu’approchée, quand il arriverait que

$(\mathrm {G} +h+i\alpha )^{2}=4\left[\mathrm {G} h-\mathrm {H} g+i(\alpha h-\beta g)\right],$

ce qui est la condition des racines égales, on n’en pourrait conclure