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sera permis de se servir de telle méthode d’approximation qu’on voudra. Cependant, comme il peut être quelquefois important de connaître la vraie forme de la valeur de $y,$ qu’on chercherait vainement par les méthodes ordinaires, je vais donner le moyen d’y parvenir.

50. Soit en général l’équation

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {K} y+\mathrm {K} '{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {L} +i\left(\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {M} 'y{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {M} ''{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\left(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {N} 'y^{2}{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} ''y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} '''{\frac {dy^{3}}{dt^{3}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

On fera ${\frac {dy}{dt}}=z,$ et l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {K} y+\mathrm {K} 'z+\mathrm {L} +i\left(\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {M} 'yz+\mathrm {M} ''z^{2}\right)\\&+i^{2}\left(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {N} 'y^{2}z+\mathrm {N} ''yz^{2}+\mathrm {N} '''z^{3}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

On différentiera cette équation, et l’on y substituera ensuite ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {d^{3}y}{dt^{3}}},$ $z$ au lieu de ${\frac {dy}{dt}},$ et ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {dz}{dt}},$ ou plutôt sa valeur en $y$ et $z\,;$ de cette manière on aura une nouvelle équation en $z$ de la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+ky+k'z+l+i\left(my^{2}+m'yz+m''z^{2}\right)\\&+i^{2}\left(ny^{3}+n'y^{2}z+n''yz^{2}+n'''z^{3}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

Toute la difficulté se réduira donc à intégrer ces deux équations : sur quoi voyez ci-après le n^o 52.

51. Si l’équation proposée était du quatrième ordre, on la réduirait à deux du second, en faisant ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-z=0,$ et substituant ensuite $z$ au lieu ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$ ${\frac {dz}{dt}}$ au lieu de ${\frac {d^{3}y}{dt^{3}}},$ et ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}.$

Mais si la proposée était du troisième ordre, alors il faudrait la réduire d’abord au quatrième par la différentiation, et ensuite à deux du second par la supposition de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-z=0,$ et ainsi du reste.