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49. Supposons maintenant que l’on ait à intégrer l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{3}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\left(\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {M} '{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\left(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {N} 'y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+\ldots =0,$

on pourra faire disparaître la quantité ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ de la manière suivante.

Qu’on multiplie l’équation par $2dy,$ et qu’on en prenne l’intégrale, en négligeant les termes affectés de $i^{2},$ on aura

${\frac {dy^{2}}{dt^{3}}}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +i\left({\frac {2\mathrm {M} }{3}}y^{3}+2\mathrm {M} '\int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy\right)=0.$

Or,

$\int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy=y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}-2\int ydy{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$

et, en mettant au lieu de ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ leurs valeurs approchées $-\mathrm {K} ^{2}y^{2}-2\mathrm {L} y-\mathrm {H}$ et $-\mathrm {K} ^{2}y-\mathrm {L} .$

$\int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy=-{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{3}}y^{3}-\mathrm {L} y^{2}-\mathrm {H} y\,;$

donc on aura

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\mathrm {K} ^{2}-2i\mathrm {LM} '\right)y^{2}+(2\mathrm {L} -2i\mathrm {HM} ')y+\mathrm {H} +i\mathrm {\left({\frac {2M}{3}}-{\frac {2K^{2}M'}{3}}\right)} y^{3}=0.$

Substituant donc cette valeur de ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ dans l’équation proposée, elle deviendra

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\left[\mathrm {K} ^{2}-2i\mathrm {LM} '+i^{2}\mathrm {H\left(2M'^{2}-N'\right)} \right]y+\mathrm {L} -i\mathrm {HM} '\\&+i\mathrm {\left(M-K^{2}M'+2iLM'^{2}\right)} y^{2}+i^{2}\mathrm {\left(N-K^{2}N'-{\frac {2MM'}{3}}+{\frac {2K^{2}M^{2}}{3}}\right)} y^{3}=0,\end{aligned}}$

laquelle est, comme on le voit, dans le cas de l’équation (A).

Par cette méthode on pourra faire disparaître toutes les puissances paires de ${\frac {dy}{dt}}$ qui se trouveront dans l’équation proposée. À l’égard des puissances impaires de ${\frac {dy}{dt}}$ il est facile de voir qu’elles donneront dans la valeur de $y$ des arcs de cercle ; d’où il s’ensuit que la solution ne pourra avoir lieu que tant que $t$ ne sera pas fort grande, et qu’ainsi il