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très-petite de l’ordre de $i\,;$ de sorte qu’on peut supposer

$\Delta a-{\frac {c^{2}\sin ^{2}b}{a}}=1\mathrm {L} ,$

moyennant quoi l’équation sera divisible par $i,$ et deviendra, après la division,

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\Delta 'a+{\frac {3c^{2}\sin ^{2}b}{a^{2}}}\right)y+\mathrm {L} +i\left({\frac {\Delta ''a}{2}}-{\frac {6c^{2}\sin ^{2}b}{a^{3}}}\right)y^{2}$

$+i^{2}\left({\frac {\Delta '''a}{2.3}}+{\frac {10c^{2}\sin ^{2}b}{a^{4}}}\right)y^{3}+\ldots =0,$

équation qui se réduit à la formule (A) du n^o 42, en supposant

$\Delta 'a+{\frac {3c^{2}\sin ^{2}b}{a^{2}}}=\mathrm {K} ^{2},\quad {\frac {\Delta ''a}{2}}-{\frac {6c^{2}\sin ^{2}b}{a^{3}}}=\mathrm {M} ,\quad {\frac {\Delta '''a}{2.3}}+{\frac {10c^{2}\sin ^{2}b}{a^{4}}}=\mathrm {N} ,\ldots .$

Ainsi l’on aura la valeur de $y,$ et par conséquent celle de $r$ en $t\,;$ il faudra seulement observer que, quand $t=0,\ r=a$ et ${\frac {dr}{dt}}=-c\cos b,$ c’est-à-dire

$y=0\quad {\text{et}}\quad i{\frac {dy}{dt}}=-c\cos b,$

par conséquent

$f=0\quad {\text{et}}\quad ig=-c\cos b\,;$

d’où l’on voit que $\cos b$ doit être très-petit, et par conséquent l’angle de projection $b$ presque droit ; ce qui est d’ailleurs évident, à cause que l’orbite est supposée peu différente d’un cercle.

L’autre équation donnera, après la substitution de $a+2y$ au lieu de $r,$

${\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {c\sin b}{a}}+2i{\frac {c\sin b}{a^{2}}}y-3i^{2}{\frac {c\sin b}{a^{3}}}y^{2}+4i^{3}{\frac {c\sin b}{a^{4}}}y^{3}-\ldots =0.$

Je substitue dans cette équation $u$ au lieu de $y^{2},$ et $v$ au lieu de $y^{3},$ ensuite j’y ajoute les trois équations (E) du n^o 46, multipliées la première par $\lambda ,$ la seconde par $\mu$ la troisième par $\nu$ ( $\lambda ,\mu ,\nu$ étant des coeffi-