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naître que la quantité $\mu$ doit être de l’ordre de $i,$ et celle de $\nu$ de l’ordre de $i^{2}.$

Soient donc

$\mu =i\lambda \alpha \quad {\text{et}}\quad \nu =i^{2}\lambda \beta ,$

on aura, en divisant la première équation par $\lambda ,$ la seconde par $i\lambda ,$ et la troisième par $i^{2}\lambda ,$ les trois suivantes :

${\begin{aligned}\rho ^{2}+\quad \mathrm {K} ^{2}\,+6i\alpha \mathrm {L} +6i^{2}\beta \mathrm {H} =&0,\\\mathrm {M} +\ \alpha \left(\rho ^{2}+4\mathrm {K} ^{2}\right)+15i\beta \mathrm {L} =&0,\\\mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\alpha \mathrm {M} +\beta \left(\rho ^{2}+9\mathrm {K} ^{2}\right)=&0.\end{aligned}}$

La première donne

$\rho ^{2}=-\mathrm {K} ^{2}-6i\alpha \mathrm {L} -6i^{2}\beta \mathrm {H} ,$

et mettant cette valeur de $\rho ^{2}$_2 dans les deux autres, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} +\alpha \left(3\mathrm {K} ^{2}-6i\alpha \mathrm {L} -6i^{2}\beta \mathrm {H} \right)+15i\beta \mathrm {L} =&0,\\\mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\alpha \mathrm {M} +\beta \left(8\mathrm {K} ^{2}-6i\alpha \mathrm {L} -6i^{2}\beta \mathrm {H} \right)=0.\end{aligned}}$

Négligeons d’abord les termes affectés de $i,$ et nous aurons

$\mathrm {M+3\alpha K^{2}=0,\qquad N+{\frac {10}{3}}\alpha M+8\beta K^{2}} =0,$

d’où l’on tire

$\alpha =-\mathrm {\frac {M}{3K^{2}}} \quad {\text{et}}\quad \beta =-\mathrm {{\frac {N}{8K^{2}}}-{\frac {10\alpha M}{3.8K^{2}}}=-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}} .$

Substituant ensuite ces valeurs dans les termes de l’ordre de $i,$ et négligeant ceux de l’ordre de $i^{2},$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} +\ \,3\alpha \mathrm {K} ^{2}-\ \ 6i\mathrm {L\left({\frac {M}{3K^{2}}}\right)^{2}} \ \ +15i\mathrm {L\left(-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}\right)} =0,\\\mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\alpha \mathrm {M} +8\beta \mathrm {K} ^{2}-6i\mathrm {L\left(-{\frac {M}{3K^{2}}}\right)\left(-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}\right)} =0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera de nouvelles valeurs plus exactes de $\alpha$ et de $\beta ,$ lesquelles