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même axe une autre courbe dont l’équation, en prenant $x$ et $y$ pour les coordonnées, soit

${\begin{aligned}y={\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin \mathrm {X} \pi d\mathrm {X} +{\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin 2\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} &+{\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin 3\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} +\ldots \\&+{\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin n\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} ,\end{aligned}}$

ces deux courbes coïncideront dans tous les points qui répondent aux abscisses

$x=\mathrm {X} ={\frac {s}{n+1}},$

$s$ et $n$ étant des nombres entiers, quelle que soit d’ailleurs la fonction $\mathrm {Z} \,;$ or on peut rendre $n$ et $s$ si grands que, les points de coïncidence soient aussi près les uns des autres qu’on voudra.

Au reste il ne faut pas manquer d’observer que la construction donnée ci-dessus, pour représenter le mouvement de la corde vibrante, n’est exacte qu’autant qu’il est permis de négliger les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ comme nous l’avons fait (n^o 40). Or il est clair que ces quantités seront toujours nulles d’elles-mêmes, si ${\frac {d^{m}y}{dx^{m}}}$ ne fait de saut nulle part dans la courbe initiale, ni dans les branches alternatives ; ainsi, pourvu que cette condition soit observée, on pourra toujours déterminer le mouvement de la corde, quelle que soit d’ailleurs la nature de la courbe initiale.

Nouvelle manière d’intégrer par approximation l’équation

(A)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\mathrm {M} y^{2}+i^{2}\mathrm {N} y^{3}+\ldots =0,$

dans laquelle $\mathrm {K,L,M,N} ,\ldots$ sont des constantes quelconques,
et $i$ marque un coefficient très-petit.

42. On sait que l’intégrale de l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +a\cos \alpha t+b\cos \beta t+\ldots =0$