Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/613

des autres qu’on voudra. Pour cela je prends l’équation

$y={\frac {2\mathrm {Y} _{1}}{n+1}}\sin x\pi +{\frac {2\mathrm {Y} _{2}}{n+1}}\sin 2x\pi +{\frac {2\mathrm {Y} _{3}}{n+1}}\sin 3x\pi +\ldots +{\frac {2\mathrm {Y} _{n}}{n+1}}\sin nx\pi ,$

dans laquelle

$\mathrm {Y} _{m}=\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}},$

et, par ce que j’ai démontré dans le n^o 39, j’aurai, lorsque $x={\frac {s}{n+1}},$

$y=\mathrm {Y} ^{(s)}$

Soient maintenant

$n+1={\frac {1}{d\mathrm {X} }}\quad {\text{et}}\quad {\frac {s}{n+1}}=\mathrm {X} ,$

on aura

$\mathrm {Y} _{m}=\int \mathrm {Y} \sin m\mathrm {X} \pi =(n+1)\int \mathrm {Y} \sin m\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} ,$

cette intégrale étant prise depuis $\mathrm {X} =0$ jusqu’à $\mathrm {X} =1$ ; par conséquent

${\begin{aligned}y=&2\int \mathrm {Y} \sin \mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin x\pi +2\int \mathrm {Y} \sin 2\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin 2x\pi \\&+2\int \mathrm {Y} \sin \mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin 3x\pi +\ldots +2\int \mathrm {Y} \sin n\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin nx\pi ,\end{aligned}}$

de sorte que, lorsque $x=\mathrm {X} ,$ on aura $y=\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Y}$ étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse $\mathrm {X} .$

Or, soient $\mathrm {Z}$ une fonction quelconque de $\mathrm {X} ,$ et $z$ une pareille l’onction de $x,$ il est clair qu’en mettant dans l’équation précédente $\mathrm {YZ}$ au lieu de $\mathrm {Y} ,$ et $yz$ au lieu de $y,$ on aura aussi, lorsque $\mathrm {X} =x,$

$yz=\mathrm {YZ} ,$

c’est-à-dire, à cause de $z=\mathrm {Z}$ dans ce cas,

$y=\mathrm {Y} .$

D’où il s’ensuit que si l’on a une courbe quelconque rapportée à un axe égal à $1,$ et dont les coordonnées soient $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ et qu’on décrive sur le