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Donc, faisant $u=x={\frac {m}{n+1}},$

$\chi \left({\frac {m}{n+1}},{\frac {m}{n+1}}\right)=-{\frac {(n+1)\cos m\pi \sin {\cfrac {nm\pi }{n+1}}}{2\sin {\cfrac {m\pi }{n+1}}}}.$

Or

$\cos m\pi \sin {\frac {nm}{n+1}}\pi ={\frac {1}{2}}\sin {\frac {2n+1}{n+1}}m\pi -{\frac {1}{2}}\sin {\frac {m}{n+1}}\pi ,$

et

$\sin {\frac {2n+1}{n+1}}m\pi =\sin \left(2m-{\frac {m}{n+1}}\right)\pi =-\sin {\frac {m}{n+1}}\pi$

(à cause que $m$ est un nombre entier) ; donc

$\cos m\pi \sin {\frac {nm}{n+1}}\pi =-\sin {\frac {m}{n+1}}\pi \,;$

et, par conséquent,

$\chi \left({\frac {m}{n+1}},{\frac {m}{n+1}}\right)={\frac {n+1}{2}}.$

On aura donc

$\varphi \left({\frac {s}{n+1}}\right)=\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {P} ^{(s)}\quad {\text{et}}\quad \psi \left({\frac {s}{n+1}}\right)=\mathrm {Q} ^{(s)}\,;$

c’est-à-dire que les deux courbes qui représentent les fonctions $\varphi (x)$ et $\psi (x)$ doivent être telles, que les ordonnées répondant aux abscisses ${\frac {s}{n+1}}$ soient $\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {P} ^{(s)}$ et $\mathrm {Q} ^{(s)}.$

Ayant donc divisé l’axe de la corde, que je suppose égal à $1,$ en $n+1$ parties égales, on appliquera à chaque abscisse ${\frac {s}{n+1}}$ deux ordonnées, l’une égale à $\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {P} ^{(s)}$ et l’autre égale à $\mathrm {Q} ^{(s)},$ et l’on fera passer par les extrémités de chacune de ces deux suites d’ordonnées deux courbes représentées par l’équation

$y=\alpha \sin x\pi +\beta \sin 2x\pi +\gamma \sin 3x\pi +\ldots +\omega \sin nx\pi ,$

$y$ étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse $x,$ et $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\omega$ des coefficients arbitraires ; on aura de cette manière les courbes qui serviront à