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Or

$2\cos u\pi \chi (u,x)$

${\begin{aligned}=&2\cos u\pi \sin u\pi \sin x\pi +2\cos u\pi \sin 2u\pi \sin 2x\pi \\&+2\cos u\pi \sin 3u\pi \sin 3x\pi +\ldots +2\cos u\pi \sin nu\pi \sin nx\pi \\=&\sin 2u\pi \sin x\pi +(\sin u\pi +\sin 3u\pi )\sin 2x\pi \\&+(\sin 2u\pi +\sin 4u\pi )\sin 3x\pi +\ldots \\&+\left[\sin(n-1)u\pi +\sin(n+1)u\pi \right]\sin nx\pi \\=&\sin 2x\pi \sin u\pi +(\sin x\pi +\sin 3x\pi )\sin 2u\pi \\&+(\sin 2x\pi +\sin 4x\pi )\sin 3u\pi +\ldots \\&+\left[\sin(n-1)x\pi +\sin(n+1)x\pi \right]\sin nu\pi \\&+\sin(n+1)u\pi \sin nx\pi -\sin(n+1)x\pi \sin nu\pi \\=&2\cos x\pi \chi (n,x)+\sin(n+1)u\pi \sin nx\pi -\sin(n+1)x\pi \sin nu\pi .\end{aligned}}$

Donc

$\chi (u,x)={\frac {\sin(n+1)u\pi \sin nx\pi -\sin(n+1)x\pi \sin nu\pi }{2(\cos u\pi -\cos x\pi )}}$

Soient

$u={\frac {m}{n+1}},\qquad x={\frac {s}{n+1}},$

$m$ et $s$ étant des nombres entiers, on aura

$\sin(n+1)u\pi =\sin m\pi =0,\qquad \sin(n+1)x\pi =\sin s\pi =0\,;$

par conséquent,

$\chi \left({\frac {m}{n+1}},{\frac {s}{n+1}}\right)=0.$

Il en faut excepter le cas où $s=m,$ car alors le numérateur et le dénominateur de la formule deviennent égaux chacun à zéro. Pour trouver la valeur de $\chi (u,x)$ dans ce cas, on fera $x=u+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité évanouissante, et l’on aura, en effaçant ce qui se détruit,

$\chi (u,x)={\frac {n\sin(n+1)u\pi \cos nu\pi }{2\sin u\pi }}-{\frac {(n+1)\cos(n+1)u\pi \sin nu\pi }{2\sin u\pi }}.$