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seules données), afin que

$\Delta ^{2}\mathrm {Y} '=\mathrm {Y} ''-2\mathrm {Y} '\quad {\text{et}}\quad \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(m)}=-2\mathrm {Y} ^{(m)}+\mathrm {Y} ^{(m-1)},$

on aura

$\mathrm {Y} ^{(m)}x^{2}=-{\frac {1}{4}}\left[\Delta ^{2}\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\Delta ^{2}\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.$

$\left.+\Delta ^{2}\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right].$

Si l’on fait de même

${\begin{aligned}\Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{(s)}=&\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s+1)}-2\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s)}+\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s-1)}\\=&\mathrm {Y} ^{(s+2)}-4\mathrm {Y} ^{(s+1)}+6\mathrm {Y} ^{(s)}-4\mathrm {Y} ^{(s-1)}+\mathrm {Y} ^{(s-2)}\end{aligned}}$

et qu’on suppose ensuite

$\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{0}=0\quad {\text{et}}\quad \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,$

on trouvera

$\mathrm {Y} ^{(m)}x^{4}={\frac {1}{16}}\left[\Delta ^{4}\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\Delta ^{4}\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.$

$\left.+\Delta ^{4}\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right].$

En général on aura

$\mathrm {Y} ^{(m)}x^{2r}=\pm {\frac {1}{2^{r}}}\left[\Delta ^{2r}\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\Delta ^{2r}\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.$

$\left.+\Delta ^{2r}\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\Delta ^{2r}\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right]$

(le signe supérieur étant pour le cas de $r$ pair, et l’inférieur pour celui de $r$ impair), pourvu qu’on suppose

$\mathrm {Y} ^{0}=0,\ \ \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{0}=0,\ \ \Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{0}=0,\ldots ,$

$\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,\ \ \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,\ \ \Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,\ldots ,$

conditions auxquelles on peut satisfaire en imaginant la suite des $\mathrm {Y}$ continuée de part et d’autre à l’infini, de manière que les termes $\mathrm {Y} ^{0}$ et $\mathrm {Y} ^{(n-1)}$ soient nuls, et que les termes également distants de ceux-ci soient égaux et de signes contraires.