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d’où l’on tire

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura en général

${\begin{aligned}\lambda ''\ =&\left(1+a\rho ^{2}\right)\lambda ',\\\lambda '''=&{\frac {-\lambda '+\left(3+a\rho ^{2}\right)\lambda ''}{2}}=\left(1+2a\rho ^{2}+{\frac {a^{2}\rho ^{4}}{2}}\right)\lambda ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\lambda ^{\mathrm {iv} }=&\left(1+3a\rho ^{2}+{\frac {3a^{2}\rho ^{4}}{2}}+{\frac {a^{3}\rho ^{6}}{2.3}}\right)\lambda ',\\\lambda ^{\mathrm {v} }=&\left(1+4a\rho ^{2}+{\frac {6a^{2}\rho ^{4}}{2}}+{\frac {4a^{3}\rho ^{6}}{2.3}}+{\frac {a^{4}\rho ^{8}}{2.3.4}}\right)\lambda ',\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura en général

$\lambda ^{(m)}=\left[1+(m-1)a\rho ^{2}+{\frac {(m-1)(m-2)}{4}}a^{2}\rho ^{4}\right.$

$\left.+{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{4.9}}a^{3}\rho ^{6}+\ldots \right]\lambda '.$

Or il est visible que, pour satisfaire à la dernière équation

$\rho ^{2}\lambda ^{(n)}+{\frac {-(n-1)\lambda ^{n-1}+(2n-1)\lambda ^{(n)}}{a}}=0,$

il faut supposer

$\lambda ^{n+1}=0,$

ce qui donne

$1+na\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.9}}\rho ^{6}+\ldots =0,$

équation d’où l’on tirera $n$ valeurs de $\rho ^{2},$ qu’on désignera par $\rho _{1}^{2},\rho _{2}^{2},\rho _{3}^{2},$$\ldots ,\rho _{n}^{2},$ et qu’on substituera successivement dans l’expression de $\lambda ^{(m)}$ pour avoir les valeurs de $\lambda _{1}^{(m)},\lambda _{2}^{(m)},\lambda _{3}^{(m)},\ldots .$

À l’égard des quantités $\nu ,$ on les trouvera de la même manière par le moyen des équations $(k),$ lesquelles deviennent, dans le cas présent,

${\begin{aligned}\rho ^{2}\nu '\ &+{\frac {\nu '-\nu ''}{a}}=0,\\\rho ^{2}\nu ''&+{\frac {-\nu '+3\nu ''-2\nu '''}{a}}=0,\end{aligned}}$