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inégales, l’état d’équilibre sera stable en général, quel que soit le dérangement initial du système ;

2^o Si ces racines sont toutes réelles positives ou toutes imaginaires, ou en partie réelles positives, et en partie imaginaires, l’état d’équilibre n’aura aucune stabilité, et le système une fois dérangé de cet état ne pourra le reprendre ;

3^o Enfin, si les racines sont en partie réelles négatives et inégales, et en partie réelles négatives et égales, ou réelles et positives, ou imaginaires, l’état d’équilibre aura seulement une stabilité relative et conditionnelle, c’est-à-dire que cet état ne se rétablira, ou ne tendra à se rétablir, que lorsqu’il y aura, entre les distances et les vitesses initiales, les conditions marquées dans le numéro précédent ; dans tous les autres cas il sera impossible que le système revienne de lui-même à son premier état.

35. Lorsque toutes les racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ sont réelles inégales et négatives, il est clair qu’en faisant $\rho ^{2}=-r^{2},$ chaque terme de la valeur de $y^{(s)}$ se réduira à la forme

\alpha \cos rt+\beta \sin rt,

laquelle représente, comme on sait, le mouvement d’un pendule simple de longueur ${\frac {1}{r^{2}}}\,;$ d’où il est aisé de conclure que le mouvement de chaque corps sera composé de $n$ mouvements pareils à ceux de $n$ pendules dont les longueurs seraient

{\frac {1}{r_{1}^{2}}},\quad {\frac {1}{r_{2}^{2}}},\quad {\frac {1}{r_{3}^{2}}},\ldots ,\quad {\frac {1}{r_{n}^{2}}}.

C’est le théorème que M. Daniel Bernoulli a déduit, par induction, de la considération du mouvement d’une corde chargée de plusieurs poids.

Si l’on veut que les oscillations des corps deviennent simples et isochrones, on supposera que l’état initial du système soit tel, que l’on ait

(m)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\lambda '\mathrm {Y'+\lambda ''Y''+\lambda '''Y'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=0,\\\lambda '\mathrm {V'+\lambda ''V''+\lambda '''V'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=0,\end{aligned}}\right.