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ment petites du second ordre, les mêmes conditions et les mêmes résultats que ci-dessus. Il est clair que ce que nous venons de dire des racines égales doit avoir lieu de même, lorsqu’elles ne diffèrent que par des quantités très-petites.

3^o Si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ étaient imaginaires, alors réduisant les quantités $\lambda '_{1},\lambda ''_{1},$$\lambda '''_{1},\ldots$ et $\lambda '_{2},\lambda ''_{2},\lambda '''_{2},\ldots$ à la forme $p'+q'{\sqrt {-1}},\ p''+q''{\sqrt {-1}},$$p'''+q'''{\sqrt {-1}},\ldots ,$ et $p'-q'{\sqrt {-1}},\ p''-q''{\sqrt {-1}},\ p'''-q'''{\sqrt {-1}},\ldots ,$ on aurait les conditions suivantes :

${\begin{aligned}p'\mathrm {Y} '+p''\mathrm {Y} ''+p'''\mathrm {Y} '''+\ldots +p^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=0,\\p'\mathrm {V} '+p''\mathrm {V} ''+p'''\mathrm {V} '''+\ldots +p^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=0,\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}q'\mathrm {Y} '+q''\mathrm {Y} ''+q'''\mathrm {Y} '''+\ldots +q^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=0,\\q'\mathrm {V} '+q''\mathrm {V} ''+q'''\mathrm {V} '''+\ldots +q^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=0.\end{aligned}}$

On aura de pareilles conditions pour chaque paire de racines imaginaires.

34. De là on tire une méthode générale pour voir si l’état d’équilibre d’un système quelconque donné de corps est stable, c’est-à-dire si, les corps étant infiniment peu dérangés de cet état, ils y reviendront d’eux-mêmes, ou au moins tendront à y revenir.

On supposera le système dans un état infiniment proche de celui d’équilibre, et on cherchera les expressions des forces accélératrices des corps pour se remettre à cet état, lesquelles seront, aux infiniment petits du second ordre et des suivants près, de cette forme :

$\mathrm {A} y'+\mathrm {B} y''+\mathrm {C} y'''+\ldots ,$

comme nous l’avons supposé dans les équations $(a).$ On formera ensuite des équations telles que les équations $(c),$ et on en tirera l’équation $\mathrm {P} =0,$ dont $\rho ^{2}$ sera l’inconnue, et qui sera nécessairement d’un degré égal à l’exposant du nombre des corps. Cela posé :

1^o Si toutes les racines de cette équation sont réelles négatives et