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On ramènerait de même à la forme $p+q{\sqrt {-1}}$ et $p-q{\sqrt {-1}}$ les valeurs des quantités $\mu ,\nu$ et $\mathrm {Q}$ répondantes à $\rho _{1}$ et $\rho _{2},$ et on trouverait, après les substitutions et les réductions, que les imaginaires se détruiraient dans les deux termes ${\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}}\theta _{2},$ lesquels contiendraient alors des sinus et des cosinus multipliés par des exponentielles ordinaires.

33. Au reste, quand on veut appliquer la solution précédente au mouvement d’un système quelconque de corps, on doit supposer, comme nous lavons fait, que les quantités $y',y'',y''',\ldots$ soient assez petites pour qu’on puisse négliger, sans erreur sensible, dans les expressions des forces accélératrices des corps, les termes qui contiendraient les produits $y'^{2},y'y'',\ldots .$ Ainsi il faudra, pour que la solution soit bonne mécaniquement : 1^o que les valeurs initiales $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,V',V'',V'''} ,\ldots$ soient infiniment petites ; 2^o que les expressions de $y',y'',y''',\ldots$ ne contiennent aucun terme qui augmente à l’infini avec le temps $t\,;$ par conséquent il faudra que les racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ soient toutes réelles, négatives et inégales, auquel cas la valeur de $y^{(s)}$ ne contiendra que des sinus et des cosinus (numéro précédent), ou au moins que les termes qui renfermeraient l’arc $t$ disparaissent d’eux-mêmes.

Donc, 1^o si $\rho _{1}^{2}$ est une quantité positive, il faudra que l’on ait

$(l)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {\lambda '_{1}Y'+\lambda ''_{1}Y''+\lambda '''_{1}Y'''} +\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=&0,\\\mathrm {\lambda '_{1}V'+\lambda ''_{1}V''+\lambda '''_{1}V'''} +\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=&0,\end{aligned}}\right.$

ce qui fera évanouir le premier terme ${\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}$ de la valeur de $y^{(s)}.$

De même, si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ étaient toutes deux positives, mais inégales, on aurait, outre les deux conditions précédentes, encore ces deux-ci :

${\begin{aligned}\mathrm {\lambda '_{2}Y'+\lambda ''_{2}Y''+\lambda '''_{2}Y'''} +\ldots +\lambda _{2}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=&0,\\\mathrm {\lambda '_{2}V'+\lambda ''_{2}V''+\lambda '''_{2}V'''} +\ldots +\lambda _{2}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=&0,\end{aligned}}$

et il faudrait effacer les deux premiers termes de $y^{(s)},$ et ainsi de suite.

2^o Si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ sont égales et négatives, on aura les mêmes condi-