Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/588

$\lambda ''_{m},\lambda '''_{m},\ldots ,$ nous aurons

$\chi {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=-{\frac {2}{\rho _{m}}}\left[\nu '_{m}\lambda '_{m}+\nu ''_{m}\lambda ''_{m}+\nu '''_{m}\lambda '''_{m}+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda _{m}^{(n)}\right]={\frac {2\mathrm {Q} _{m}}{\rho _{m}}}\,;$

donc on aura, en général,

$\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2}}\chi \rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }},$

ce qui pourra servir a abréger le calcul de la valeur de $\mathrm {Q}$ dans plusieurs occasions.

32. Examinons maintenant les différents cas qui peuvent arriver relativement aux racines de l’équation $\mathrm {P} =0.$ Et d’abord il est clair que si toutes ces racines sont réelles, positives et inégales, les valeurs de $\rho$ seront aussi réelles et inégales ; ainsi ce cas n’aura aucune difficulté.

S’il y a des racines négatives, alors les valeurs correspondantes de $\rho$ deviendront imaginaires de la forme $r{\sqrt {-1}},$ ce qui réduira les exponentielles ${\frac {e^{\rho t}+e^{-\rho t}}{2}}$ et ${\frac {e^{\rho t}-e^{-\rho t}}{2\rho }}$ à cette forme : $\cos rt$ et ${\frac {\sin rt}{r}}\,;$ d’où il s’ensuit que si toutes les racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ étaient réelles, négatives et inégales, les valeurs de $y',y'',y''',\ldots$ ne contiendraient que des sinus et des cosinus ; nous verrons plus bas que ce cas est le seul où la solution soit bonne en général relativement à la question mécanique.

Passons au cas des racines égales, et supposons $\rho _{2}=\rho _{1},$ il est facile de voir, par les formules du numéro précédent, que les valeurs de $\mathrm {Q} _{1}$ et de $\mathrm {Q} _{2}$ deviendront égales à zéro ; de sorte que les deux premiers termes de la valeur de $y^{(s)}$ semblent devoir être infinis. Pour obvier à cet inconvénient, on supposera $\rho _{2}=\rho _{1}+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité évanouissante, et à cause de

$\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2}}\chi \rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=-{\frac {\chi \rho }{2d\rho }}d\left[\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right)\right],$

on aura

$\mathrm {Q} =\chi \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right)=2\chi {\frac {\omega }{\rho _{1}}}\left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right),$