Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/587

est nulle lorsque $\rho =\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ excepté $\rho _{m}\,;$ or il est facile de voir que les valeurs de ${\frac {\lambda ''}{\lambda '}},{\frac {\lambda '''}{\lambda '}},\ldots ,{\frac {\lambda ^{(n)}}{\lambda '}},$ tirées des équations $(c),$ seront exprimées par des fractions telles que ${\frac {q''}{q'}},{\frac {q'''}{q'}},\ldots ,{\frac {q^{(n)}}{q'}},$ les quantités $q',q'',q''',\ldots$ étant de la forme

$a+b\rho ^{2}+c\rho ^{4}+\ldots +h\rho ^{(n-1)}\,;$

de sorte que si l’on fait, ce qui est permis, $\lambda '=q',$ on aura $\lambda ''=q'',$$\lambda '''=q''',\ldots ,$ et, par conséquent, la quantité

$\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\nu '''_{m}\lambda '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}$

deviendra de la forme

$\alpha +\beta \rho ^{2}+\gamma \rho ^{4}+\ldots +\zeta \rho ^{2(n-1)}\,;$

donc on aura

$\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\nu '''_{m}\lambda '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}=\chi \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right),$

en prenant tous les facteurs depuis $1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}$ jusqu’à $1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}},$ hormis $1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{m}^{2}}},$ et le coefficient $\chi$ étant égal à la valeur de

$\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)},$

lorsqu’on fait $\rho =0$ dans les quantités $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots .$

Or, soit $\mathrm {P} =0$ l’équation en $\rho ^{2}$ tirée des équations $(c)$ ou $(k),$ on aura, en supposant que le terme tout connu de $\mathrm {P}$ soit $1,$

$\mathrm {P} =\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right)\,;$

donc

$\chi \mathrm {P} =\left[\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\nu '''_{m}\lambda '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}\right]\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{m}^{2}}}\right).$

Prenons les différences de part et d’autre, en faisant varier $\rho ,$ et supposons ensuite $\rho =\rho _{m},$ ce qui changera les quantités $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots$ en $\lambda '_{m},$