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nous avons déjà tenu compte, $n$ valeurs que nous dénoterons par $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ en sorte que $\rho _{1}^{2},\rho _{2}^{2},\rho _{3}^{2},\ldots$ soient les racines de l’équation dont il s’agit. Donc, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\theta &=\left[\lambda '\mathrm {Y'+\lambda ''Y''+\lambda '''Y'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}+e^{-\rho t}}{2}}\\&+\left[\lambda '\mathrm {V'+\lambda ''V''+\lambda '''V'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}-e^{-\rho t}}{2\rho }},\end{aligned}}$

et qu’on désigne par $\lambda '_{1},\lambda '_{2},\lambda '_{3},\ldots ,\lambda '_{n},\lambda ''_{1},\lambda ''_{2},\lambda ''_{3},\ldots ,\lambda ''_{n},\ldots$ les valeurs de $\lambda ',\lambda '',\ldots$ qui résultent de la substitution de $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n}$ au lieu de $\rho ,$ et que de même $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\ldots ,\theta _{n}$ soient les valeurs correspondantes de $\theta ,$ on aura, au lieu de l’équation (d), les $n$ suivantes :

${\begin{aligned}\lambda '_{1}y'+\lambda ''_{1}y''+\lambda '''_{1}y'''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{1},\\\lambda '_{2}y'+\lambda ''_{2}y''+\lambda '''_{2}y'''+\ldots +\lambda _{2}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{2},\\\lambda '_{3}y'+\lambda ''_{3}y''+\lambda '''_{3}y'''+\ldots +\lambda _{3}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\lambda '_{n}y'+\lambda ''_{n}y''+\lambda '''_{n}y'''+\ldots +\lambda _{n}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{n},\end{aligned}}$

par lesquelles il faudra déterminer les $n$ inconnues $y',y'',y''',\ldots ,y^{(n)}\,;$ c’est à quoi se réduit maintenant toute la difficulté du problème.

Pour en venir à bout, je multiplie la première de ces équations par $\mu ',$ la seconde par $\mu '',$ la troisième par $\mu ''',$ et ainsi de suite, $\mu ',\mu '',\mu ''',\ldots$ étant des coefficients indéterminés, puis je les ajoute ensemble, ce qui me donne, en ordonnant les termes par rapport à $y',y'',y''',\ldots ,$

${\begin{aligned}&\left[\mu '\lambda '_{1}\ \ +\mu ''\lambda '_{2}\ \ +\mu '''\lambda '_{3}\ \ \,+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda '_{n}\ \,\right]y'\\+&\left[\mu '\lambda ''_{1}\ \ +\mu ''\lambda ''_{2}\ \ +\mu '''\lambda ''_{3}\ \ \,+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda ''_{n}\,\ \right]y''\\+&\left[\mu '\lambda '''_{1}\ +\mu ''\lambda '''_{2}\ \ +\mu '''\lambda '''_{3}\ \,+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda '''_{n}\ \right]y'''\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\+&\left[\mu '\lambda _{1}^{(n)}+\mu ''\lambda _{2}^{(n)}+\mu '''\lambda _{3}^{(n)}+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda _{n}^{(n)}\right]y^{(n)}\\&=\mu '\theta _{1}+\mu ''\theta _{2}+\mu '''\theta _{3}+\ldots +\mu ^{(n)}\theta _{n}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera aisément la valeur d’une $y$ quelconque, comme $y^{(s)},$ en