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Soient, lorsque $t=0,$

$y'=\mathrm {Y} ',\quad y''=\mathrm {Y} '',\quad y'''=\mathrm {Y} ''',\ldots ,$

et

${\frac {dy'}{dt}}=\mathrm {V} ',\quad {\frac {dy''}{dt}}=\mathrm {V} '',\quad {\frac {dy'''}{dt}}=\mathrm {V} ''',\ldots ,$

l’équation (b) deviendra, en divisant par $e^{\rho t},$

$\lambda '{\frac {dy'}{dt}}+\lambda ''{\frac {dy''}{dt}}+\lambda '''{\frac {dy'''}{dt}}+\ldots +\lambda ^{(n)}{\frac {dy^{(n)}}{dt}}$

$-\rho \left[\lambda 'y'+\lambda ''y''+\lambda '''y'''+\ldots +\lambda ^{(n)}y^{(n)}\right]$

$\quad =\left[\lambda '\mathrm {V} '+\lambda ''\mathrm {V} ''+\lambda '''\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right.$

$\left.-\rho \left(\lambda '\mathrm {Y} '+\lambda ''\mathrm {Y} ''+\lambda '''\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]e^{-\rho t}.$

Or, comme la quantité $\rho$ ne se trouve dans les équations (c) que sous la forme quadratique $\rho ^{2},$ il s’ensuit qu’elle peut avoir indifféremment le signe $+$ et le signe $-\,;$ donc on aura aussi

$\lambda '{\frac {dy'}{dt}}+\lambda ''{\frac {dy''}{dt}}+\lambda '''{\frac {dy'''}{dt}}+\ldots +\lambda ^{(n)}{\frac {dy^{(n)}}{dt}}$

$+\rho \left[\lambda 'y'+\lambda ''y''+\lambda '''y'''+\ldots +\lambda ^{(n)}y^{(n)}\right]$

$\quad =\left[\lambda '\mathrm {V} '+\lambda ''\mathrm {V} ''+\lambda '''\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right.$

$\left.+\rho \left(\lambda '\mathrm {Y} '+\lambda ''\mathrm {Y} ''+\lambda '''\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]e^{\rho t}\,;$

donc, retranchant ces deux équations l’une de l’autre, et divisant ensuite par $2\rho ,$ on aura

$(d)\quad \left\{{\begin{aligned}\lambda 'y'&+\lambda ''y''+\lambda '''y'''+\ldots +\lambda ^{(n)}y^{(n)}\\&=\left[\lambda '\mathrm {Y} '+\lambda ''\mathrm {Y} ''+\lambda '''\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}+e^{-\rho t}}{2}}\\&+\left[\lambda '\mathrm {V} '+\lambda ''\mathrm {V} ''+\lambda '''\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}-e^{-\rho t}}{2\rho }}.\end{aligned}}\right.$

Qu’on reprenne maintenant les équations (c) et qu’on substitue dans une quelconque de ces équations les valeurs de ${\frac {\lambda ''}{\lambda '}},{\frac {\lambda '''}{\lambda '}},\ldots ,{\frac {\lambda ^{(n)}}{\lambda '}}$ en $\rho ^{2}$ tirées des $n-1$ autres, valeurs qui seront toujours données, comme on voit, par des équations linéaires, on aura une équation qui, étant ordonnée par rapport à $\rho ^{2},$ montera au degré $n,$ et aura par conséquent $n$ racines. Donc $\rho$ aura, indépendamment de l’ambiguïté du signe dont