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des équations de cette forme

$(a)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} '\ \,y'+\mathrm {B} '\ \,y''+\mathrm {C} '\,y'''+\ldots \ldots +\mathrm {N} '\ \,y^{(n)}=0,\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} ''\,y'+\mathrm {B} ''\,y''+\mathrm {C} ''\,y'''+\ldots \ldots +\mathrm {N} ''\,y^{(n)}=0,\\{\frac {d^{2}y'''}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} '''y'+\mathrm {B} '''y''+\mathrm {C} '''y'''+\ldots \ldots +\mathrm {N} '''y^{(n)}=0,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y^{(n)}}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} ^{(n)}y'+\mathrm {B} ^{(n)}y''+\mathrm {C} ^{(n)}y'''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}y^{(n)}=0,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots$ étant des constantes données par la nature du problème.

Pour intégrer ces équations suivant la méthode expliquée ci-dessus, on multipliera la première par $\lambda 'e^{\rho t}dt,$ la seconde par $\lambda ''e^{\rho t}dt,$ la troisième par $\lambda '''e^{\rho t}dt,$ et ainsi de suite, $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots$ étant, ainsi que $\rho ,$ des constantes indéterminées ; ensuite on les ajoutera ensemble, et on en prendra l’intégrale en faisant disparaître de dessous le signe $\int$ les différences des variables $y',y'',y''',\ldots \,;$ après quoi on fera les coefficients des quantités $\int y'e^{\rho t}dt,$$\int y''e^{\rho t}dt,\ \int y'''e^{\rho t}dt,\ldots ,$ égaux à zéro ; de cette manière on aura d’abord l’équation intégrale

$(b)\left\{{\begin{aligned}&\left[\lambda '\left({\frac {dy'}{dt}}-\rho y'\right)+\lambda ''\left({\frac {dy''}{dt}}-\rho y''\right)\right.\\&\quad \left.\lambda '''\left({\frac {dy'''}{dt}}-\rho y'''\right)+\ldots +\lambda ^{(n)}\left({\frac {dy^{(n)}}{dt}}-\rho y^{(n)}\right)\right]e^{\rho t}=\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$

et ensuite les équations

$(c)\qquad \left\{{\begin{aligned}\rho ^{2}\lambda '\ \ &+\mathrm {A'\lambda '+A''\lambda ''+A'''\lambda '''+\ldots +A} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\\\rho ^{2}\lambda ''\ &+\mathrm {B'\lambda '+B''\lambda ''+B'''\lambda '''\,+\ldots +B} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\\\rho ^{2}\lambda '''&+\mathrm {C'\lambda '+C''\lambda ''+C'''\lambda '''\,+\ldots +C} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ^{2}\lambda ^{(n)}&+\mathrm {N'\lambda '+N''\lambda ''+N'''\lambda '''\,+\ldots +N} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\end{aligned}}\right.$

lesquelles serviront à déterminer les quantités $\rho ,\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots .$