Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/579

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

avec les équations Or l’équation (U) est identique, et par conséquent ne dépend point des valeurs de donc on peut supposer ces valeurs telles que

et l’on aura par ce moyen l’équation dans laquelle on regardera les quantités comme données, et les quantités comme indéterminées ; or il est aisé de voir que ces indéterminées seront aussi au nombre de si donc on a valeurs particulières de chacune des quantités dans les équations on aura aussi, par la substitution successive de ces valeurs dans l’équation équations particulières, d’où l’on tirera les valeurs de lesquelles contiendront nécessairement constantes arbitraires ; de sorte qu’en faisant successivement toutes ces constantes, hors une, égales à zéro, on aura valeurs particulières de de de Donc, etc.

27. De là résulte ce théorème :

Les équations proposées seront intégrables algébriquement, si l’on peut trouver, dans le cas de autant de valeurs particulières de chacune des quantités qu’il y a d’unités dans la somme des exposants des plus hautes différences de ces variables.

Au reste, ce théorème n’est qu’une suite de celui du no 6. Car il est clair que les équations proposées peuvent toujours réduire à ne contenir chacune qu’une seule variable, et il est facile de s’assurer par le calcul que les réduites seront nécessairement de l’ordre donc, etc.

28. Les équations sont intégrables en général lorsque