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Or, par la première condition il faut que

$\varphi (t)+\varphi (-t)=0,$

donc

$\alpha '\cos {\frac {\pi t}{a}}+\beta '\cos {\frac {2\pi t}{a}}+\ldots =0,$

donc

$\alpha '=0,\qquad \beta '=0,\ldots ,$

donc

$\varphi (t)=\alpha \sin {\frac {\pi t}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi t}{a}}+\gamma \sin {\frac {3\pi t}{a}}+\ldots \,;$

par conséquent l’équation de la figure initiale de la corde, lorsqu’elle en a une, ne peut être que de la forme

$y=\alpha \sin {\frac {\pi t}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi t}{a}}+\gamma \sin {\frac {3\pi t}{a}}+\ldots \,;$

Sur l’intégration des équations

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ y+\mathrm {M} \ \ {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} \ \ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots &+l\ \ y'+m\ \ {\frac {dy'}{dt}}+n\ \ {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\ldots \\&+\lambda \ y''+\mu \ \ {\frac {dy''}{dt}}+\nu \ \ {\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+\ldots =\mathrm {T} ,\\\mathrm {L} '\ y+\mathrm {M} '\ {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} '\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots &+l'\ y'+m'\ {\frac {dy'}{dt}}+n'\ {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\ldots \\&+\lambda 'y''+\mu '\ {\frac {dy''}{dt}}+\nu '\ {\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+\ldots =\mathrm {T} ',\\\mathrm {L} ''y+\mathrm {M} ''{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} ''{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots &+l''y'+m''{\frac {dy'}{dt}}+n''{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\ldots \\&+\lambda ''y''+\mu ''{\frac {dy''}{dt}}+\nu ''{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+\ldots =\mathrm {T} '',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {L,M,N} ,\ldots ,l,m,n,\ldots ,$ sont des fonctions
quelconques de $t.$

26. En suivant les mêmes principes que dans le n^o 1, on multipliera la première de ces équations par $zdt,$ la seconde par $z'dt,$ la troisième