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en général, quel que soit $t,$

$\varphi (t)+\varphi (-t)=0,\quad {\text{et}}\quad \varphi (a+t)+\varphi (a-t)=0,$

conditions nécessaires pour que les deux bouts de la corde soient fixes ; or, puisque $\varphi (t)=-\varphi (-t),$ on aura

$\varphi (a-t)=-\varphi \left[-(a-t)\right]=-\varphi (t-a)\,;$

donc la seconde des deux conditions se réduira à celle-ci :

$\varphi (t+a)-\varphi (t-a)=0.$

Cette équation étant comparée avec la formule du n^o 19, on aura

$\alpha =1,\quad \beta =-1,\quad \gamma =0,\quad b=-a,\quad \mathrm {T} =0\,;$

donc

$\mathrm {P} =e^{-\rho a}-e^{\rho a}\,;$

et faisant $\rho =-r{\sqrt {-1}},$

$\mathrm {P} =2\sin ra{\sqrt {-1}}\,;$

donc l’équation $\mathrm {P} =0$ donnera $ra=\mu \pi ,$ $\mu$ étant un nombre entier positif ou négatif ; par conséquent on aura

$r={\frac {\mu \pi }{a}}\quad {\text{et}}\quad \rho =-{\frac {\mu \pi }{a}}{\sqrt {-1}}\,;$

or, $\mathrm {T}$ étant égal à zéro, on aura

$\int \mathrm {T} e^{\rho t}dt=\mathrm {const} .\,;$

donc

${\frac {\theta }{q}}=e^{{\frac {\mu \pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}\times \mathrm {const} .\,;$

donc, donnant successivement à $\mu$ toutes ses valeurs 1,-1,+2,-2,\ldots, et prenant des constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C,\ldots ,A',B',C'} ,\ldots ,$ on aura

$\varphi (t)=\mathrm {A} e^{{\frac {\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\mathrm {A} 'e^{-{\frac {\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{{\frac {2\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} 'e^{-{\frac {2\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\ldots ,$

équation qui revient à cette forme :

$\varphi (t)=\alpha \sin {\frac {\pi t}{a}}+\alpha '\cos {\frac {\pi t}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi t}{a}}+\beta '\cos {\frac {2\pi t}{a}}+\ldots ,$

$\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',\ldots ,$ étant pareillement des constantes arbitraires.