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mouvement que s’il était renfermé dans un vase de figure rectangulaire dont la longueur fût double, quadruple, etc., de la largeur.

On pourra encore trouver le mouvement du fluide lorsque la longueur du vase sera égale à sa largeur, et en général toutes les fois que les deux dimensions du vase seront commensurables entre elles ; mais il faudra pour lors que les valeurs données de $q$ forment une courbe qui ait un ou plusieurs nœuds, de sorte que la fonction $\psi (x)$ demeure la même en augmentant ou en diminuant se d’une quantité égale à la longueur du vase. Dans tous les autres cas, c’est-à-dire lorsque les dimensions du vase seront incommensurables, on ne pourra déterminer le mouvement du fluide par la théorie précédente ; et comme cette théorie est fondée sur la supposition que le mouvement du fluide soit dans un état constant, en sorte que les particules du fluide décrivent des courbes invariables, ce sera une marque que l’hypothèse dont nous parlons n’aura point lieu ; sur quoi voyez les Articles XLII et XLIII de la Dissertation citée ci-dessus.

Solution d’une question relative à la théorie des cordes vibrantes.

25. La question que je vais examiner ici consiste à savoir si toutes les courbes qui rendent la solution du problème des cordes vibrantes possible, suivant la théorie de M. d’Alembert, sont renfermées ou non dans l’équation

$y=\alpha \sin {\frac {\pi x}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi x}{a}}+\gamma \sin {\frac {3\pi x}{a}}+\ldots \,;$

question que ce grand Géomètre a vivement agitée avec MM. Bernoulli et Euler dans le premier Mémoire de ses Opuscules mathématiques.

Pour pouvoir résoudre cette question d’une manière directe et convaincante, je prends l’équation générale de la courbe que forme la corde vibrante, laquelle est, comme on sait,

$y={\frac {\varphi (x+t)+\varphi (x-t)}{2}},$

et j’examine quelle doit être la forme de la fonction $\varphi$ pour que l’on ait