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$\mathrm {Q} ={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\varphi (t+x)-\varphi (t-x)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (t+2x)-\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.$

$\left.+3{\frac {\varphi (t+3x)-\varphi (t-3x)}{9+1}}-\ldots \right],$

on aura

$\left(\varphi \pm x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}}\,;$

et les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ seront données, comme on voit, par des suites convergentes dont chaque terme pourra se déterminer mécaniquement sans qu’il soit besoin de connaître la nature de la fonction $\varphi .$

24. Il est clair que l’intégrale de l’équation (n^o 20)

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=-{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}$

est aussi

$p=\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right),$

ou, ce qui revient au même,

$p={\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}-{\frac {\psi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)-\psi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}},$

d’où l’on tire ensuite

$q={\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}+{\frac {\psi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}.$

Imaginons que le vase soit formé de deux parois droites et parallèles, en sorte qu’il ait partout la même largeur $a\,;$ en prenant une de ces parois pour l’axe des $t,$ il faudra que la vitesse $q$ soit nulle lorsque $x=0$ et lorsque $x=a,$ quel que soit $t.$ Or, en faisant $t=0,$ on a $p=\varphi (x)$ et $q=\psi (x)\,;$ ainsi, en décrivant sur la portion de l’axe des $x$ comprise entre les parois du vase deux courbes qui soient les échelles des vitesses $p$ et $q,$ que doivent avoir les particules du fluide dans cette section du vase, les appliquées de ces courbes répondantes à une abscisse quelconque $x$ représenteront les fonctions $\varphi (x)$ et $\psi (x).$