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On trouvera ainsi la valeur de $y$ en $t,$ après quoi on aura celle de $y'$ par l’équation $y'-y-\mathrm {M} .$

23. Les équations

${\begin{aligned}p=&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),\\{\frac {q}{\sqrt {-1}}}=&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

trouvées dans le n^o 20, donnent

$p\pm {\frac {q}{\sqrt {-1}}}=2\varphi \left(t\pm x{\sqrt {-1}}\right)\,;$

ou bien, en faisant $\mathrm {P} ={\frac {p}{2}},\ \mathrm {Q} =-{\frac {q}{2}},$

$\varphi \left(t\pm x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {P\pm Q} {\sqrt {-1}}\,;$

ainsi, pour trouver les vitesses $p$ et $q,$ il ne s’agit que de réduire l’expression $\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)$ à la forme $\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},$ $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des quantités réelles.

Lorsque la fonction $\varphi$ est donnée algébriquement, on peut trouver les valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ par les méthodes connues ; mais, si la fonction $\varphi$ est inconnue, alors il faut avoir recours aux séries, lesquelles donnent

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\varphi (t)-{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)-\ldots ,\\\mathrm {Q} =&x\varphi '(t)-{\frac {x^{3}}{2.3}}\varphi '''(t)+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}\varphi ^{\mathrm {v} }(t)-\ldots .\end{aligned}}$

Or je remarque : 1^o que ces deux séries deviennent divergentes lorsque $x$ est fort grande ; 2^o qu’elles demandent qu’on connaisse les différences de la fonction $\varphi (t),$ de sorte qu’elles ne peuvent être d’usage dans la pratique que lorsque la fonction $\varphi$ est connue analytiquement, et nullement lorsque cette fonction n’est donnée que mécaniquement, c’est-à-dire par le moyen d’une courbe ; ainsi je crois qu’il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut transformer ces mêmes séries en d’autres qui dépendent uniquement de la fonction $\varphi .$