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d’où l’on tire, en divisant par $\beta e^{-\rho b}$ et prenant les logarithmes

$\rho ={\frac {\log \left(-{\cfrac {\alpha }{\beta }}\right)}{b-a}}={\frac {\log \lambda +\omega {\sqrt {-1}}}{b-a}}.$

Dans le second on aura, en faisant $e^{-\rho a}=p,$

$\alpha +\beta p^{2}+\gamma p^{3}+\ldots =0,$

d’où l’on tirera $p,$ et par conséquent $\rho .$

Solutions de quelques problèmes concernant le mouvement des fluides.

20. Si un fluide homogène et non élastique se meut dans un vase de figure quelconque, et qu’on suppose son mouvement arrivé à un état permanent, nommant $p$ et $q$ les vitesses d’une particule quelconque du fluide parallèlement à deux axes fixes perpendiculaires entre eux, et $t,x$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position de cette particule par rapport aux mêmes axes, on aura les équations suivantes :

${\frac {dp}{dt}}+{\frac {dq}{dx}}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dp}{dx}}-{\frac {dq}{dt}}=0.$

(Voyez l’Article XLII du Mémoire qui a pour titre : Application de la méthode précédente à la solution, etc., page 440.)

De ces deux équations on tire celle-ci :

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=-{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}},$

dont l’intégrale est

$p=\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),$

$\varphi$ et $\psi$ dénotant des fonctions quelconques.

Ensuite l’équation ${\frac {dq}{dt}}={\frac {dp}{dx}}$ donnera

${\frac {q}{\sqrt {-1}}}=\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right).$