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2^o Lorsque $1+kb=(1+ka)^{2},\ 1+kc=(1+ka)^{3},\ldots \,;$ car, en faisant

$(1+ka)^{-r-1}=p,$

l’équation proposée deviendra

$\alpha p+\beta p^{2}+\gamma p^{3}+\ldots =0\,;$

d’où l’on tirera $p$ par les méthodes connues ; après quoi on trouvera $r$ par la méthode précédente.

19. Si $k=0$ et $h=1,$ en sorte que l’équation à résoudre soit

$\alpha \varphi (t+a)+\beta \varphi (t+b)+\gamma \varphi (t+c)+\ldots =\mathrm {T} ,$

alors, suivant ce qui a été dit dans le n^o 13, on trouvera

$\mathrm {P} =\alpha e^{-\rho a}+\beta e^{-\rho b}+\gamma e^{-\rho c}+\ldots$

et

${\scriptstyle \mathrm {Q} }=-\alpha ae^{-\rho a}-\beta be^{-\rho b}-\gamma ce^{-\rho c}-\ldots ,$

et la valeur de $y,$ c’est-à-dire de $\varphi (t),$ sera exprimée par la suite infinie

$-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}-{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}-{\frac {\theta _{3}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{3}}}-\ldots ,$

dans laquelle on aura, en général,

$\theta =e^{-\rho t}\int \mathrm {T} e^{\rho t}dt.$

À l’égard des valeurs de $\rho ,$ on les tirera de l’équation $\mathrm {P} =0,$ laquelle est résoluble dans les mêmes cas que ci-dessus, savoir lorsque le coefficient $\gamma$ et tous les suivants sont nuls, et lorsque $b=2a,\ c=3a,\ldots .$ Dans le premier cas on aura

$\alpha e^{-\rho a}+\beta e^{-\rho b}=0,$