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(dans le cas de $k$ infiniment petite), $e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1\,;$ donc

$\theta =e^{-\rho t}\int \mathrm {T} e^{\rho t}dt.$

et par conséquent

$\theta _{1}=e^{-\rho _{1}t}\int \mathrm {T} e^{\rho _{1}t}dt,\qquad \theta _{2}=e^{-\rho _{2}t}\int \mathrm {T} e^{\rho _{2}t}dt,\ldots .$

Si l’équation $\mathrm {P} =0$ a deux racines égales, on transformera d’abord les termes

$-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}=-k\left({\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}\right)$

en

$k{\frac {2(h+kt)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {R} _{1}}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt.$

(numéro précédent), expression qui se réduit dans le cas présent à celle-ci :

${\frac {2k^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}e^{-\rho _{1}t}\int dt\int \mathrm {T} e^{\rho _{1}t}dt\,;$

mais

$\mathrm {R} ={\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}={\frac {k^{2}d^{2}\mathrm {P} }{d\rho ^{2}}}\,;$

donc, si l’on fait ${\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\rho ^{2}}}=\scriptstyle \mathrm {R} ,$ on aura

${\frac {2}{\scriptstyle \mathrm {R} _{1}}}e^{-\rho _{1}t}\int dt\int \mathrm {T} e^{\rho _{1}t}dt$

au lieu des termes $-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}-{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}.$ On opérerait de même si l’on avait trois, quatre, etc., racines égales.

Si $\rho _{1}$ et $\rho _{2}$ sont imaginaires, de sorte que

$\rho _{1}=\scriptstyle \mathrm {F+G} \displaystyle {\sqrt {-1}},\quad {\text{et}}\quad \rho _{2}=\scriptstyle \mathrm {F-G} \displaystyle {\sqrt {-1}},$

on aura

$e^{\pm \rho _{1}t}=e^{\pm rt}\left(\cos \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t\pm \sin \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t{\sqrt {-1}}\right),$

et

$e^{\pm \rho _{2}t}=e^{\pm st}\left(\cos \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t\pm \sin \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t{\sqrt {-1}}\right),$