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aux quantités du second ordre. De cette manière on trouvera que les trois termes $-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}-k{\frac {\theta _{3}}{\mathrm {Q} _{3}}}$ deviendront

$-k{\frac {6(h+kt)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {S} _{1}}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt,$

$\mathrm {S}$ étant égal à ${\frac {d^{3}\mathrm {P} }{dr^{3}}},$ et $\mathrm {S} _{1}$ exprimant la valeur de $\mathrm {S}$ lorsque $r=r_{1},$ et ainsi de suite.

2^o Supposons maintenant que les deux racines $r_{1}$ et $r_{2}$ soient imaginaires, en sorte que $r_{1}=\mathrm {F+G} {\sqrt {-1}}$ et $r_{2}=\mathrm {F-G} {\sqrt {-1}}\,;$ il est facile de voir que les quantités $\mathrm {Q} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{2}$ seront de cette forme : $\mathrm {Q_{1}=M+N} {\sqrt {-1}},$$\mathrm {Q_{2}=M-N} {\sqrt {-1}}\,;$ de plus, les quantités $(h+kt)^{-r_{1}-1}$ et $(h+kt)^{r_{1}}$ viendront

$(h+kt)^{-\mathrm {F} -1}(h+kt)^{-\mathrm {G} {\sqrt {-1}}},\quad {\text{et}}\quad (h+kt)^{\mathrm {F} }(h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}.$

Or soit

$(h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\lambda \left(\cos \varphi +\sin \varphi {\sqrt {-1}}\right),$

on aura par les logarithmes

$\mathrm {G} {\sqrt {-1}}\log(h+kt)=\log \lambda +\varphi {\sqrt {-1}},$

donc $\log \lambda =0,$ savoir

$\lambda =1,\quad {\text{et}}\quad \varphi =\mathrm {G} \log(h+kt),$

donc

$(h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\cos \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]+\sin \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]{\sqrt {-1}},$

et prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ en $-,$

$(h+kt)^{-\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\cos \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]-\sin \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]{\sqrt {-1}}\,;$

par ces substitutions on réduira les quantités $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ à la forme $\mathrm {X\pm Y} {\sqrt {-1}},$ de sorte que les deux termes $-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}$ de l’expression de $y$ se changeront en

$-k\mathrm {\frac {X+Y{\sqrt {-1}}}{M+N{\sqrt {-1}}}} -k\mathrm {\frac {X-Y{\sqrt {-1}}}{M-N{\sqrt {-1}}}} =-2k\mathrm {\frac {MX+NY}{M^{2}+N^{2}}} .$