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Donc les équations (B) et (C) deviendront

(I)

$\mathrm {A} z-\mathrm {B} {\frac {d.(h+kt)z}{dt}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}.(h+kt)^{2}z}{dt^{2}}}-\mathrm {D} {\frac {d^{3}.(h+kt)^{3}z}{dt^{3}}}+\ldots =0,$

(K)

$\left\{{\begin{aligned}y&\left[\mathrm {B} (h+kt)z-\mathrm {C} {\frac {d.(h+kt)^{2}z}{dt}}+\mathrm {D} {\frac {d^{2}.(h+kt)^{3}z}{dt^{2}}}-\ldots \right]\\&+{\frac {dy}{dt}}\left[\mathrm {C} (h+kt)^{2}z+\mathrm {D} {\frac {d.(h+kt)^{3}z}{dt}}-\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\left[\mathrm {D} (h+kt)^{3}z-\ldots \right]+\ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {T} zdt.\end{aligned}}\right.$

Soit maintenant

$z=(h+kt)^{r},$

et l’équation (I) étant divisée par $(h+kt)^{r}$ se réduira à celle-ci :

(L)

$\mathrm {A-B} k(r+1)+\mathrm {C} k^{2}(r+1)(r+2)-\mathrm {D} k^{3}(r+1)(r+2)(r+3)+\ldots =0,$

laquelle étant ordonnée par rapport à $r$ montera à un degré dont l’exposant sera le même que celui de l’ordre de l’équation proposée (H).

Faisant la même substitution dans l’équation (K), on aura, après avoir divisé par $(h+kt)^{r+1},$

${\begin{aligned}y&\left[\mathrm {B-C} k(r+2)+Dk^{2}(r+2)(r+3)-\ldots \right]\\&+{\frac {dy}{dt}}\left[\mathrm {C-D} k(r+3)+\ldots \right](h+kt)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {D} -\ldots )(h+kt)^{2}+\ldots \\&+(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt,\end{aligned}}$

équation qui devra avoir lieu en mettant pour $r$ chacune des racines de l’équation (L).

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {B-C} k(r+2)+\mathrm {D} k^{2}(r+2)(r+3)-\ldots =\alpha ,\\&\mathrm {C-D} k(r+3)+\ldots =\beta ,\\&\mathrm {D} -\ldots =\gamma ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt=\theta ,\end{aligned}}$