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Or, $k_{1}$ et $k_{2}$ étant les racines de l’équation $\mathrm {L+M} k+\mathrm {N} k^{2}=0,$ on aura

$k_{1}+k_{2}=-\mathrm {\frac {M}{N}} \,;$

donc

$k_{1}+\mathrm {\frac {M}{N}} =-k_{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M+2N} k_{1}=\mathrm {N} \left(k_{1}-k_{2}\right)\,;$

donc, en faisant $\mathrm {C} =-{\frac {\mathrm {B} }{k_{1}-k_{2}}},$ les valeurs de $z_{1}$ et de $z_{2}$ seront les mêmes que ci-dessus.

Ces valeurs pourraient encore se trouver d’une manière plus simple par la remarque du n^o 10. Car l’équation (B) sera, dans le cas présent,

$\mathrm {L} z-\mathrm {M} {\frac {dz}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0\,;$

d’où l’on tire

$z=\mathrm {F} e^{h_{1}t}=z_{1}\quad {\text{et}}\quad z=\mathrm {G} e^{h_{2}t}=z_{2},$

$\mathrm {F,G}$ étant deux constantes arbitraires, et $h_{1},h_{2}$ les racines de l’équation $\mathrm {L} -\mathrm {M} h+\mathrm {N} h^{2}=0\,;$ de sorte qu’on aura

$h_{1}=-k_{1}\quad {\text{et}}\quad h_{2}=-k_{2}.$

Recherche des cas d’intégration de l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+ayt^{m}=\mathrm {T} .$

12. On aura ici $\mathrm {L} =at^{2m},\ \mathrm {M=0,\ N} =1\,;$ donc l’équation (B) deviendra

(G)

$azt^{2m}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0.$

Supposons $dt$ variable, nous aurons, au lieu du terme ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ ces deux-ci ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dzd^{2}t}{dt^{3}}}\,;$ donc, faisant cette substitution et divisant toute l’équation par $t^{2m},$ on aura la transformée

${\frac {d^{2}z}{t^{2m}dt^{2}}}-{\frac {dzd^{2}t}{t^{2m}dt^{3}}}+az=0.$

Soit maintenant $t^{m}dt=du,$ c’est-à-dire $u={\frac {t^{m+1}}{m+1}},$ on aura, en pre-