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On tire de ces deux équations

$z={\frac {\mathrm {A} y_{1}-\mathrm {B} y_{2}}{\mathrm {N} \left(y_{2}{\cfrac {dy_{1}}{dt}}-y_{1}{\cfrac {dy_{2}}{dt}}\right)}}.$

Soit d’abord $\mathrm {A} =0,$ on aura

$z=-\mathrm {\frac {B}{N}} {\frac {y_{1}}{y_{2}{\cfrac {dy_{1}}{dt}}-y_{1}{\cfrac {dy_{2}}{dt}}}}=z_{1}\,;$

soit ensuite $\mathrm {B} =0,$ on aura

$z=\mathrm {\frac {A}{N}} {\frac {y_{2}}{y_{2}{\cfrac {dy_{1}}{dt}}-y_{1}{\cfrac {dy_{2}}{dt}}}}=z_{2}.$

Ayant deux valeurs de $z,$ savoir $z_{1}$ et $z_{2},$ on les substituera successivement dans l’équation (C), et l’on aura

${\begin{aligned}y\left(\mathrm {M} z_{1}-{\frac {d\mathrm {N} z_{1}}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}\mathrm {N} z_{1}=&\int \mathrm {T} z_{1}dt,\\y\left(\mathrm {M} z_{2}-{\frac {d\mathrm {N} z_{2}}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}\mathrm {N} z_{2}=&\int \mathrm {T} z_{2}dt,\\\end{aligned}}$

d’où l’on tire

(F)

$y={\frac {z_{2}\int \mathrm {T} z_{1}dt-z_{1}\int \mathrm {T} z_{2}dt}{\mathrm {N} \left(z_{1}{\cfrac {dz_{2}}{dt}}-z_{2}{\cfrac {dz_{1}}{dt}}\right)}}.$

C’est la valeur générale et complète de $y$ qui satisfait à l’équation proposée.

Si l’on ne connaissait que la valeur $y_{1},$ on aurait simplement l’équation

$z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y_{1}+\mathrm {N} {\frac {dy_{1}}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y_{1}=\mathrm {A} .$

laquelle étant intégrée donnerait

$z=e^{\int \left(\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {N} dt}}+{\frac {dy_{1}}{y_{1}dt}}\right)dt}\left[\mathrm {const} .-\mathrm {A} \int {\frac {e^{-\int \left(\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {N} dt}}+{\frac {dy_{1}}{y_{1}dt}}\right)dt}}{\mathrm {N} y_{1}}}dt\right]$