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c’est-à-dire si les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ sont par leur nature telles, qu’elles puissent tenir en équilibre une masse fluide homogène, alors l’équation précédente se réduit à

${\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\left(\Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z\right)=0,$

ce qui donne

$\Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z=0,$

équation générale des couches de niveau, comme il est aisé de le voir, d’où il s’ensuit que, dans ce cas, chaque couche de niveau sera nécessairement d’une densité uniforme dans toute son étendue.

Tel devrait donc être l’arrangement de différentes parties de la terre si elle avait été primitivement fluide ; car il est aisé de prouver par le calcul, et M. Clairaut l’a démontré à l’Article LIV de sa Théorie de la figure de la Terre, que les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi ,$ résultantes de toutes les attractions que les particules exercent les unes sur les autres, ont d’elles-mêmes les conditions

${\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}.$

Cependant un grand Géomètre a cru qu’il n’était pas toujours nécessaire que les surfaces des différentes couches fussent de niveau, et il a donné un autre principe pour connaître la figure de ces surfaces^[1]. Mais les équations que son principe fournit ne sont elles-mêmes dans le fond que celles des couches de niveau. Pour le démontrer d’une manière générale, soit un sphéroïde composé de couches de différentes densités, et dont le rayon soit exprimé généralement par $r+\alpha \mathrm {Z} ,$ $r$ étant une quantité constante dans la même couche, $\mathrm {Z}$ étant une fonction quelconque de $r$ et d’un angle $z$ variable pour tous les points de chaque couche, et a marquant une petite quantité constante. Qu’on réduise l’attraction totale que ce sphéroïde exerce sur chaque particule d’une couche quelconque, à deux forces, l’une verticale, c’est-à-dire perpendi-

1. Voyez l’Appendice qui est à la fin de l’Essai sur la résistance, des Fluides cité ci-dessus, et la troisième Partie des Recherches sur le système du Monde, p. 226 et suiv.