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En effet, si le fluide est en repos, les vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont nulles, et les équations $(h)$ se réduisent à celles que nous venons de rapporter.

Au reste, pour pouvoir faire usage des équations dont il s’agit, il n’est pas nécessaire que les quantités $\mathrm {D} ,\Pi ,\varpi ,\Psi$ soient uniquement des fonctions de $x,y,z$ comme il semble qu’on pourrait le conclure de la forme même de ces équations.

Supposons, par exemple, que les quantités $\mathrm {D} ,\Pi ,\varpi ,\Psi$ renferment outre les variables $x,y,z$ encore une quatrième variable $s$ représentée par une ligne quelconque, il est clair que, quelles que soient la nature et la position de cette ligne, on pourra toujours exprimer sa différentielle $\operatorname {d} s$ de cette manière : $\mathrm {A} \operatorname {d} x+\mathrm {B} \operatorname {d} y+\mathrm {C} \operatorname {d} z\,;$ par conséquent, la valeur complète de l’expression ${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}},$ qui n’est autre chose que le coefficient de $\operatorname {d} y$ dans la différentiation de $\mathrm {D} \Pi ,$ sera

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {B} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}\,;$

on trouvera de même

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {C} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}},\quad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} s}},\quad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} s}},$

pour les valeurs complètes des expressions ${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}\,;$ substituant ces valeurs dans les équations ci-dessus, elles deviendront

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {B} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}=&{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} s}},\\{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {C} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}=&{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} s}},\end{aligned}}$

équations dans lesquelles les différentielles qui dépendent de chacune des variables $x,y,z,s$ se trouvent séparées.

Je fais cette remarque relativement à un endroit de l’excellent Traité de la résistance des Fluides (Article 164).

Si la densité $\mathrm {D}$ est constante, les équations

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}$