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ceux de $\operatorname {d} x$ dans les deux différentielles $\operatorname {d} {\frac {d\beta }{dt}},\operatorname {d} {\frac {d\gamma }{dt}},$ on aura les valeurs de

${\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} z}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\gamma }{dt}}}{\operatorname {d} x}},$

lesquelles étant mises à la place de ces quantités dans les équations $(l),$ il nous viendra, en ôtant le dénominateur commun $\mathrm {K} ,$ les deux équations

${\begin{aligned}(\mathrm {NT-MU} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {LU-NS} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {MS-LT} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}\,+(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}},\\(\mathrm {MR-NQ} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {NP-LR} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}\ +(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dt^{2}}}.\end{aligned}}$

Si l’on met dans ces deux équations, aussi bien que dans celle qui a été trouvée précédemment pour $\mathrm {L,M,N,P,Q,R,S,T,U} ,$ leurs valeurs ${\frac {dx}{d\mathrm {X} }},$${\frac {dx}{d\mathrm {Y} }},{\frac {dx}{d\mathrm {Z} }},{\frac {dy}{d\mathrm {X} }},{\frac {dy}{d\mathrm {Y} }},{\frac {dy}{d\mathrm {Z} }},{\frac {dz}{d\mathrm {X} }},{\frac {dz}{d\mathrm {Y} }},{\frac {dz}{d\mathrm {Z} }},$ on aura trois équations générales qui ne renfermeront que les changeantes $x,y,z$ avec leurs différences relatives à $\mathrm {X,Y,Z} ,t,$ et par lesquelles on pourra déterminer la position de chaque particule du fluide à chaque instant de son mouvement.

XLV.

Scolie. — Les équations

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},$

que nous avons supposées dans l’Article XLII pour simplifier les formules $(h),$ ont lieu quand toutes les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ sont telles que leurs actions sur les particules du fluide se détruisent mutuellement, c’est-à-dire que les particules du fluide animées par ces forces se font équilibre.