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on aura les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}},{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}},$ et l’équation $(m)$ deviendra

${\begin{aligned}&(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\\+&(\mathrm {NT-MU} ){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\\+&(\mathrm {MR-NQ} ){\frac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\frac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {LQ-NP} ){\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=0,\end{aligned}}$

ou, ce qui est la même chose,

${\frac {d\mathrm {K} }{dt}}=0,$

d’où l’on tirera $\mathrm {K=const} .,$ savoir :

$\mathrm {LQU-MPU+MRS-NQS+NPT-LRT=H} ,$

$\mathrm {H}$ étant une fonction de $mathrm{X,Y,Z},$ sans $t,$ savoir la valeur de $K,$ lorsque $t=0.$

À l’égard des deux équations $(l),$ on remarquera que $\operatorname {d} {\frac {d\alpha }{dt}}$ est la même chose que ${\frac {d\operatorname {d} \alpha }{dt}}\,;$ c’est pourquoi il n’y aura qu’à différentier la valeur de $\operatorname {d} \alpha$ trouvée ci-dessus, en ne faisant varier que $t,$ et l’on aura

$\operatorname {d} {\frac {d\alpha }{dt}}={\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} \,;$

de la même manière on trouvera

${\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {d\beta }{dt}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} {\frac {d\gamma }{dt}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

On substituera donc dans ces expressions, comme on a fait ci-dessus dans celles de $\operatorname {d} \alpha ,\operatorname {d} \beta ,\operatorname {d} \gamma ,$ les valeurs de $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z}$ en $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ et prenant les coefficients de $\operatorname {d} y$ et de $\operatorname {d} z$ dans la différentielle $\operatorname {d} {\frac {d\alpha }{dt}},$ et