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XLIV.

Corollaire III. — Si, au lieu de considérer les vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ on veut considérer les variables $x,y,z$ elles-mêmes, on remarquera que ces variables ne peuvent être que des fonctions du temps $t$ et des valeurs qu’elles avaient au commencement du mouvement quand $t=0,$ valeurs qui doivent être entièrement arbitraires, pour que la solution du problème ait toute la généralité possible.

Dénotons ces valeurs par $\mathrm {X,Y,Z} ,$ c’est-à-dire supposons que les variables $x,y,z,$ qui représentent la position de chaque particule du fluide, après un temps quelconque $t,$ soient au commencement du mouvement $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ les différences de $x,y,z$ s’exprimeront en général de la manière suivante :

${\begin{aligned}\mathrm {diff{\acute {e}}r} .x=&\mathrm {L} d\mathrm {X+M} d\mathrm {Y+N} d\mathrm {Z} +\alpha dt,\\\mathrm {diff{\acute {e}}r} .y=&\mathrm {P} d\mathrm {X+Q} d\mathrm {Y+R} d\mathrm {Z} +\beta dt,\\\mathrm {diff{\acute {e}}r} .z=&\mathrm {S} d\mathrm {X\,+T} d\mathrm {Y+U} d\mathrm {Z} +\gamma dt,\end{aligned}}$

de sorte que

$dx=\alpha dt,\qquad dy=\beta dt,\qquad dz=\gamma dt,$

et

${\begin{aligned}\operatorname {d} x=&\mathrm {L} d\mathrm {X+M} d\mathrm {Y+N} d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} y=&\mathrm {P} d\mathrm {X+Q} d\mathrm {Y+R} d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} z=&\mathrm {S} d\mathrm {X\,+T} d\mathrm {Y+U} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Substituant dans les équations $(g),$ $(b),$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ au lieu de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et supposant d’ailleurs, pour simplifier le calcul, $\mathrm {D}$ constant, et

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},$

on trouvera, après avoir divisé les deux premières par $\mathrm {D} dt,$ et la troisième par $dt,$

$(l)\qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\gamma }{dt}}}{\operatorname {d} x}},$

$(m)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.$