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posant, pour abréger,

$\mathrm {U} dt=\mathrm {T} dt-\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

la transformée

$\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

où il n’y a plus qu’un seul signe d’intégration ; la formule proposée deviendra donc

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

ou, ce qui est la même chose,

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

dans laquelle il ne s’agit plus que de faire disparaître les différences de $\delta y$ et $\delta z.$

Pour cela il est nécessaire de distinguer d’abord les intégrations relatives à la variabilité de $y$ et de $z,$ en mettant cette intégrale sous la forme suivante :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} \operatorname {y} \mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}.$

Or, par la méthode ordinaire des intégrations par parties, on trouve

$\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}=\mathrm {U} dt\delta y-\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y.$

J’écris $\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y$ au lieu de $\mathrm {S} \operatorname {d} (\mathrm {U} dt)\delta y$ qui lui est égal, pour dénoter que cette intégrale, de même que la différentielle $\operatorname {d} \mathrm {U} dt,$ doit être prise en ne considérant que la variabilité de $y$ seul. Soient maintenant ${\grave {\,}}\!y$ la valeur de $y$ lorsque l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y$ commence, et $y'$ sa valeur lorsque cette intégrale finit ; et soit exprimé par ${\grave {\,}}\!U$ ce que devient $\mathrm {U}$ en y mettant ${\grave {\,}}\!y$ à la place de $y,$ et par $\mathrm {U} '$ ce que la même quantité devient en faisant $y=y'\,;$ on trouvera, par la Remarque faite à la fin