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seront exprimées comme ci-dessus, et les $\mathrm {[P],[Q],[R]}$ auront les valeurs suivantes :

{\begin{aligned}&[\mathrm {P} ]=(\mathrm {SA} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SD} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SG} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {A} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {D} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {G} \right]dm.\\&[\mathrm {Q} ]=(\mathrm {SB} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SE} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SH} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {B} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {E} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {H} \right]dm.\\&[\mathrm {R} ]=(\mathrm {SC} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SF} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SI} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {C} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {F} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {I} \right]dm.\\\end{aligned}}

Je laisse au lecteur le détail de l’application de cette équation, qui n’aura aucune difficulté, après ce que nous avons dit dans les Corollaires précédents.

XL.

Problème IX. — Trouver les lois du mouvement des fluides non élastiques.

Solution. — Il est visible que l’équation (L), qui a servi pour résoudre le Problème précédent, a encore lieu ici, cette équation étant générale pour un système quelconque de corpuscules $dm,$ agités par des forces quelconques $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots .$

Soit $\mathrm {D}$ la densité de chaque particule du fluide $dm,$ on aura

dm=\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z.

et l’équation dont il s’agit sera

(a)\quad \left\{{\begin{aligned}\int \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y\ \ \right.&\\\left.+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]&=0.\end{aligned}}\right.