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XXXIX.

Scolie. — Les expressions $\mathrm {[X],[Y]} ,\ldots ,$ sont en général

${\begin{aligned}&[\mathrm {X} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt)dm,\\&[\mathrm {Y} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt)dm,\\&[\mathrm {Z} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt)dm,\\\\&[\mathrm {P} ]=(\mathrm {S} rdm){\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}-(\mathrm {S} qdm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)rdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)qdm.\\&[\mathrm {Q} ]=(\mathrm {S} rdm){\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-(\mathrm {S} pdm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)rdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)pdm.\\&[\mathrm {R} ]=(\mathrm {S} qdm){\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-(\mathrm {S} pdm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)qdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)pdm.\end{aligned}}$

Dans les formules de l’Article XXXIV nous avons mis à la place de $p,q,r$ leurs valeurs tirées de l’équation (Q), et cette substitution a introduit les quantités $\mathrm {S} p^{2}dm,\mathrm {S} q^{2}dm,\mathrm {S} r^{2}dm,\mathrm {S} pqdm.\mathrm {S} prdm,\mathrm {S} qrdm$ qui ne peuvent être déterminées que par l’intégration des équations données dans l’Article XXXV. Or, pour éviter cet embarras, il n’y aura qu’à exprimer les coordonnées $p,q,r$ par d’autres variables, dont les unes dépendent uniquement de la situation du corps et soient par conséquent les mêmes pour chacun de ses points, et les autres au contraire soient différentes pour tous les points du corps et demeurent toujours les mêmes pendant qu’il change de situation. Pour cela, ayant imaginé deux axes perpendiculaires l’un à l’autre, qui passent par le centre de rotation et qui demeurent toujours fixes au dedans du corps, on remar-