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Il n’y aura donc plus qu’à substituer cette valeur de $\delta \mathrm {Z}$ dans l’équation (S), et à égaler ensuite à zéro chacun des coefficients des différences $\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {P} ,$$\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R} ,$ ce qui donnera les cinq équations

$[\mathrm {X} ]+m[\mathrm {Z} ]=0,\qquad [\mathrm {Y} ]+n[\mathrm {Z} ]=0,$

$[\mathrm {P} ]+(q'+nr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {Q} ]+(p'+mr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {R} ]+(mq'-np')[\mathrm {Z} ]=0,$

lesquelles étant jointes avec l’équation ci-dessus,

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +\ldots ,$

serviront à déterminer le mouvement du corps.

Si l’on voulait que le corps n’eût à chaque instant qu’un mouvement autour du point touchant, c’est-à-dire qu’il n’eût aucun mouvement pour glisser le long de la surface sur laquelle il se meut, alors il est clair que les espaces parcourus par le point d’attouchement sur la surface dont nous parlons et sur celle du corps devraient être exactement les mêmes ; il faudrait donc que

${\begin{aligned}d\mathrm {X} &+r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} +dp'=dp',\\d\mathrm {Y} &+r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dq'=dq',\\d\mathrm {Z} &-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dr'=dr',\end{aligned}}$

savoir

$d\mathrm {X} +r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\ \ d\mathrm {Y} +r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,\ \ d\mathrm {Z} -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,$

et pareillement

$\delta \mathrm {X} +r'\delta \mathrm {Q} +q'\delta \mathrm {R} =0,\ \ \delta \mathrm {Y} +r'\delta \mathrm {P} -p'\delta \mathrm {R} =0,\ \ \delta \mathrm {Z} -q'\delta \mathrm {P} -p'\delta \mathrm {R} =0,$

d’où l’on aurait pour $\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {Z}$ les mêmes valeurs que dans le second cas de l’Article XXXVII et ces valeurs substituées dans l’équation (S) donneraient par conséquent aussi les mêmes équations pour le mouvement du corps, mais avec cette différence que les coordonnées $p',q',r'$ répondraient ici non plus à un point fixe, mais à un point mobile qui change continuellement de place tant sur la surface du corps que sur celle le long de laquelle le corps se meut.