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est aisé de conclure que les trois axes de rotation dont il s’agit sont nécessairement perpendiculaires entre eux.

Au reste, quel que soit le mouvement du corps autour de son centre de gravité, il y aura toujours un axe instantané de rotation qui passera par ce centre, et qui sera facile à déterminer dès qu’on connaîtra les mouvements angulaires $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} .$ Soient $p',q',r'$ les coordonnées qui répondent à chacun des points placés dans l’axe dont nous parlons : il est clair que ces points devant être immobiles pour un instant, on doit avoir

${\begin{aligned}dp'=&r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\\dq'=&r'd\mathrm {P} \ -p'd\mathrm {R} =0,\\dr'=&-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} =0,\end{aligned}}$

équations dont la troisième est, comme on le voit, une suite nécessaire des deux premières ; c’est pourquoi on fera simplement

$r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0\,;$

ce qui, en regardant $p',q',r'$ comme variables, et $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ comme constantes, donne une droite dont la position est aisée à déterminer par rapport aux axes des coordonnées $p',q',r'.$

Dans le premier instant du mouvement on a, en faisant $d\mathrm {P} =0,\ d\mathrm {Q} =0,$$d\mathrm {R} =0$ dans les équations $\mathrm {[P]=0,[Q]=0,[R]=0} ,$

${\begin{aligned}\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi q\,dm\,dt&=0,\\\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi p\,dm\,dt&=0,\\\left(\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi q\,dm\,dt-\mathrm {S} \varpi p\,dm\,dt&=0\,;\end{aligned}}$

de plus, les équations

$r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,$