Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/483

égales à zéro, on aura

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi qdm\,dt=0,\\&(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pr\,dm){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt=0,\\-&(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt=0.\end{aligned}}$

On trouvera, de plus, par les formules données à la fin de l’Article précédent,

${\begin{aligned}d\left(\mathrm {S} r^{2}dm\right)+&d(\mathrm {S} q^{2}dm)=0,\\d(\mathrm {S} pq\,dm)=&(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {P} ,\\d(\mathrm {S} pr\,dm)=&-(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {P} ,\end{aligned}}$

d’où

1^o$\qquad \qquad \qquad \mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm=\mathrm {const} .,$

constante que j’appellerai $\mathrm {A} \,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad {\frac {d(\mathrm {S} pq\,dm)}{\mathrm {S} pr\,dm}}={\frac {d(\mathrm {S} pr\,dm)}{\mathrm {S} pq\,dm}},$

savoir :

$(\mathrm {S} pq\,dm)d(\mathrm {S} pq\,dm)=-(\mathrm {S} pr\,dm)d(\mathrm {S} pr\,dm),$

ce qui donne, en intégrant et réduisant,

$(\mathrm {S} pqdm)^{2}+(\mathrm {S} prdm)^{2}=\mathrm {const} .;$

soit cette constante égale à $\mathrm {B} ^{2},$ on aura

$\mathrm {S} pr\,dm={\sqrt {\mathrm {B} ^{2}-(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}}},$

donc

${\frac {d(\mathrm {S} pq\,dm)}{\sqrt {\mathrm {B} ^{2}-(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}}}}=d\mathrm {P} ,$

d’où

$\mathrm {S} pq\,dm=\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} ),$

$\alpha$ étant un angle constant tel, que $\mathrm {B} \sin \alpha =\mathrm {S} pq\,dm,$ au commencement