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Maintenant, pour résoudre le Problème, il n’y a plus qu’à mettre dans l’équation (K) de l’Article XXIX au lieu de $\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt,$ la valeur qu’on vient de trouver, et l’on aura, en ordonnant les termes,

${\begin{aligned}&-\int \left[\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta x{\grave {\,}}\!+\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}\right]\\&+\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}dt-dm\Pi dt-dm\,d{\frac {dx}{dt}}\right)\delta x\right.\\&\qquad +\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}dt-dm\varpi dt-dm\,d{\frac {dy}{dt}}\right)\delta y\\&\qquad +\left.\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}dt-dm\Psi dt-dm\,d{\frac {dz}{dt}}\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, pour les équations générales du mouvement du fil,

${\begin{aligned}&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}dt-dm\left(\Pi dt+d{\frac {dx}{dt}}\right)=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}dt-dm\left(\varpi dt+d{\frac {dy}{dt}}\right)=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}dt\,-dm\left(\Psi dt+d{\frac {dz}{dt}}\right)=0,\end{aligned}}$

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé dans l’Article XXVII en mettant $\varpi$ et $\mathrm {\Psi } =0,$ et $-\mathrm {P}$ au lieu de $\Pi .$

On aura de plus l’équation

$\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta x{\grave {\,}}\!+\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}=0,$

qu’on traitera ainsi qu’on a fait ci-devant l’équation (P), et qui donnera par conséquent des conclusions semblables sur le mouvement des deux extrémités du fil. J’en laisse le détail au lecteur.

XXXIV.

Problème VIII. — Trouver le mouvement d’un corps de figure quelconque animé par des forces quelconques.

Solution — Soient nommées $dm$ chaque particule du corps, $u$ sa vitesse