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4^o Si les deux bouts du fil coulent le long de deux courbes représentées par les équations

d{\grave {\,}}\!z={\grave {\,}}\!md{\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!nd{\grave {\,}}\!y,\quad {\text{ou}}\quad dz'=m'dx'+n'dy',

on mettra ${\grave {\,}}\!m\delta {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!n\delta {\grave {\,}}\!y$ pour $\delta {\grave {\,}}\!z,$ et $m'\delta x'+n'\delta y'$ pour $\delta z',$ et l’on fera en conséquence

\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!m\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\ \ \operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\grave {\,}}\!n\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\ \ \operatorname {d} x'+m'\operatorname {d} z'=0,\ \ \operatorname {d} y'+n'\operatorname {d} z'=0.

5^o Si les deux bouts du fil sont attachés l’un à l’autre, en sorte qu’il en résulte une courbe rentrant en elle-même, on aura dans ce cas $x'={\grave {\,}}\!x,\ y'={\grave {\,}}\!y,\ z'={\grave {\,}}\!z,$ et l’équation générale se réduira à

-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!xy\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}=0\,;

d’où $\mathrm {T} =0$ comme dans le premier cas du n^o I.

Toutes ces équations, au reste, devront se vérifier au moyen des constantes qui se trouveront dans les équations générales de l’Article précédent après leur intégration.

XXXII.

Scolie III — Imaginons que le fil soit emporté par un corps de masse finie $\mathrm {M} '$ attaché à son extrémité et animé par des puissances quelconques $\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots .$ Il est clair que dans ce cas la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, ne sera plus simplement $\mathrm {S} dm\int uds,$ mais

\mathrm {S} dm\int uds+\mathrm {M} '\int u'ds',

en nommant $u'$ la vitesse du corps $\mathrm {M} '$ et $ds'$ l’élément de la courbe qu’il décrit. Or cette dernière formule, étant traitée comme celle du Problème I, donnera pour sa différentielle

-\mathrm {M} '\int \left[\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)\delta x'+\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)\delta y'+\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)\delta z'\right]\,;