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je multiplie donc cette équation par un coefficient indéterminé $k,$ et je l’ajoute à l’équation (M) ; j’ai, à cause de $\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ égaux à zéro,

${\begin{aligned}-\int \mathrm {S} &\left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt\right)\delta y\right.\\&\left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}$

d’où je tire pour le mouvement du fil

${\begin{aligned}&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi \,dt\right)+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi \,dt\right)+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt=0,\end{aligned}}$

et la troisième équation sera la même que dans l’Article précédent.

XXXI.

Scolie II. — L’équation (N) étant multipliée par un coefficient indéterminé $k,$ et ensuite ajoutée à l’équation (M), on a en général

$\int \left[\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right)kdt\operatorname {d} x'-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt\right]$

$-\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt\right)\delta y\right.$

$\left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt\right)\delta z\right]=0.$

Les termes affectés du double signe $\int \mathrm {S}$ fourniront d’abord pour le mouvement général du fil les mêmes équations que dans l’Article précédent ; ensuite les autres termes affectés simplement du signe $\int$ donneront l’équation

$\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {kdt}{\operatorname {d} x'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt=0,$

d’où l’on tire les conclusions suivantes :

1^o Si le fil est fixement arrêté à ses deux extrémités, les différences