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changements à ces équations. Pour cela soit reprise l’équation,

$\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right),$

on trouvera, en intégrant par parties avec l’addition des constantes nécessaires,

$\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y-{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z+\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right).$

Désignons par $x',y',z'$ les valeurs de $x,y,z$ qui répondent à l’extrémité du fil, et rapportons l’équation qu’on vient de trouver à ce point, on aura, en transposant,

${\begin{aligned}\delta x'+{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}\delta y'+{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}\delta z'-\delta {\grave {\,}}\!x&-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\\&-\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)=0.\end{aligned}}$

l’intégrale

$\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)$

étant prise pour toute la longueur du fil. Cette équation étant vraie pour tous les instants du mouvement du fil, on peut la multiplier par $dt,$ et en prendre l’intégrale relativement au temps $t$ on aura donc, en affectant tous les termes du signe $\int ,$

(N)

$\left\{{\begin{aligned}\int \left(\delta x'+{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}\delta y'+{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}\delta z'-\delta {\grave {\,}}\!x-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)&dt\\-\int \mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)&dt=0,\end{aligned}}\right.$

équation qui doit avoir lieu en même temps que l’équation générale (M) en faisant $\delta x',\delta y',\delta z',\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ égaux à zéro conformément à l’hypothèse, ce qui la réduit à

$-\int \mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)dt=0\,;$