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et l’équation (L) se changera en celle-ci :

(M)

$\left\{{\begin{aligned}&-\int \left(\delta {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)\mathrm {T} dt\\&-\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt\right)\delta y\right.\\&\qquad \qquad \left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tire pour tous les points du fil en général

${\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)=&0,\\\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)=&0,\end{aligned}}$

et ces équations, avec celle qui a été trouvée précédemment

$\operatorname {d} x\left(d{\frac {\operatorname {d} x}{dt}}\right)+\operatorname {d} y\left({\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}\right)+\operatorname {d} z\left({\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}\right)=0,$

serviront pour déterminer le mouvement du fil.

Si l’on fait dans ces équations $\Pi =-P,\ \varpi =0,\ \Psi =0,$ elles reviendront au même que celles de l’Article XXV comme il est facile de s’en assurer par un calcul fort simple.

XXX.

Scolie I — Maintenant, pour satisfaire au reste de l’équation (M), on fera encore

$\left(\delta {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)\mathrm {T} dt=0.$

équation qui appartient uniquement au premier point du fil.

Supposons d’abord ce point absolument fixe : il est clair qu’on aura $\delta {\grave {\,}}\!x=0,\ \delta {\grave {\,}}\!y=0,\ \delta {\grave {\,}}\!z=0,$ ce qui rendra nuls tous les termes de l’équation dont il s’agit ; donc les équations trouvées à la fin de l’Article précédent suffiront dans ce cas pour résoudre le Problème.

Mais si l’autre bout du fil est aussi fixe, il faudra faire alors quelques