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général $\mathrm {M} =dm,\ f=ds,\ x'-x=dx,\ y'-y=dy,\ z'-z=dz,$ et l’on trouvera que les équations ci-dessus se changeront dans les trois suivantes :

${\begin{aligned}dm&\left(d{\frac {dx}{dt}}-\mathrm {P} dt\right)-d{\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}dt=0,\\dm&d{\frac {dy}{dt}}-d{\frac {\mathrm {F} dy}{ds}}dt=0,\\dm&d{\frac {dz}{dt}}-d{\frac {\mathrm {F} dz}{ds}}dt=0,\end{aligned}}$

où la quantité $\mathrm {F}$ marque l’élasticité variable de chaque élément du fil.

Si l’on fait abstraction de la pesanteur $\mathrm {P} ,$ et qu’on suppose, outre cela, les oscillations du fil infiniment petites, en sorte que l’abscisse $x$ demeure toujours la même pour chaque élément $ds,$ la première équation se réduira à

$-d{\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}dt=0,$

dont l’intégrale est ${\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}=k,$ ce qui donne

${\frac {\mathrm {F} }{ds}}={\frac {k}{dx}},$

et cette valeur étant substituée dans les deux autres équations, on aura, à cause de $k$ constant,

$dmd{\frac {dy}{dt}}=d{\frac {dy}{dx}}kdt,\qquad dmd{\frac {dz}{dt}}=d{\frac {dz}{dx}}kdt.$

Soit $\mathrm {X}$ l’épaisseur du fil, en sorte que $dm=\mathrm {X} dx,$ (il faudrait mettre à la rigueur $dm=\mathrm {X} ds,$ mais comme on suppose les vibrations infiniment petites, il est clair que $dy$ et $dz$ seront aussi infiniment petites par rapport à $dx,$ et qu’ainsi $ds$ sera à très-peu près égal à $dx$), on trouvera en différentiant et prenant $dt$ et $dx$ pour constantes, ce qui est permis,

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {k}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {k}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$

équations connues.