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plus qu’une seule, savoir $(\varphi )+(\varphi ')=0\,;$ on aurait donc simplement les deux équations

$(\varphi )+(\varphi ')=0\quad {\text{et}}\quad (f)-(f'')=0,$

c’est-à-dire

$d{\frac {\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}{dt}}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {(2f-a)d\varphi ^{2}}{dt}}+2d{\frac {df}{dt}}=0,$

lesquelles donnent, en chassant $dt,$

${\frac {(2f-a)d\varphi }{a^{2}-2af+2f^{2}}}+2d{\frac {df}{\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)d\varphi }}=0.$

Cette équation étant multipliée par ${\frac {df}{a^{2}-2af+2f^{2}}},$ et ensuite intégrée, en regardant $d\varphi$ comme constante, deviendra celle-ci

${\frac {d\varphi }{2\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}}+{\frac {df^{2}}{\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)^{2}d\varphi }}={\frac {d\varphi }{\mathrm {A} ^{2}}},$

qui se réduit à

$d\varphi ={\frac {\mathrm {A} df{\sqrt {2}}}{\sqrt {2\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)^{2}-\mathrm {A} ^{2}\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}}}.$

XXIV.

Problème V — Trouver le mouvement d’un fil fixe en une de ses extrémités, et chargé de tant de corps pesants qu’on voudra $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots .$

Solution. — Ayant pris, comme dans l’Article IX $x,y,z,x',y',z',$$x'',y'',z'',\ldots$ pour les coordonnées rectangles des corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ on a d’abord l’équation (E). Soit maintenant $f$ la portion du fil interceptée entre l’extrémité fixe et le corps $M\,;$ soient aussi $f',f'',\ldots$ les portions du même fil interceptées entre les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} ',$ $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ et ainsi de suite ; on aura les équations

${\begin{aligned}f\ \ =&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\f'\ =&{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}},\\f''=&{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$